高等数学（上）入门教程——函数极限与导数

本教程系统讲解高等数学上册核心知识，涵盖函数与极限、连续性、导数与微分、中值定理与导数应用等，配合典型例题与练习，帮助大一新生打好数学基础。

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第一章 函数与极限

1.1 函数的概念与性质

1.1.1 函数的定义

设 \(D\) 是一个非空实数集合，如果存在一个对应法则 \(f\)，使得对 \(D\) 中的每一个 \(x\)，都有唯一确定的实数 \(y\) 与之对应，则称 \(f\) 为定义在 \(D\) 上的函数，记作 \(y = f(x)\)。其中 \(D\) 称为定义域，\(f(D) = \{f(x) \mid x \in D\}\) 称为值域。

定义域的求法：在实际问题中，定义域需要根据以下规则确定：

• 分式中分母不为零
• 偶次根号下非负
• 对数的真数为正
• 反正弦、反余弦的自变量在 \([-1, 1]\) 内

例1：求函数 \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2 - 4}\) 的定义域。

解：需要同时满足：

• \(x - 1 \geq 0\)，即 \(x \geq 1\)
• \(x^2 - 4 \neq 0\)，即 \(x \neq \pm 2\)

取交集得定义域为 \([1, 2) \cup (2, +\infty)\)。

例2：求函数 \(g(x) = \ln(3 - x) + \arcsin(x - 1)\) 的定义域。

解：需要同时满足：

• \(3 - x > 0\)，即 \(x < 3\)
• \(-1 \leq x - 1 \leq 1\)，即 \(0 \leq x \leq 2\)

取交集得定义域为 \([0, 2]\)。

1.1.2 函数的四大性质

（1）有界性

若存在常数 \(M > 0\)，使得对一切 \(x \in D\)，都有 \(|f(x)| \leq M\)，则称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上有界。若只存在上界或下界，则分别称为有上界或有下界。

例3：证明 \(f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上有界。

证明：由均值不等式，\(1 + x^2 \geq 2|x|\)，因此： \(|f(x)| = \frac{|x|}{1+x^2} \leq \frac{|x|}{2|x|} = \frac{1}{2}\) 取 \(M = \frac{1}{2}\)，则 \(|f(x)| \leq \frac{1}{2}\)，故 \(f(x)\) 有界。

（2）单调性

设 \(x_1, x_2 \in D\)，且 \(x_1 < x_2\)：

• 若 \(f(x_1) < f(x_2)\)，则 \(f(x)\) 在 \(D\) 上单调递增
• 若 \(f(x_1) > f(x_2)\)，则 \(f(x)\) 在 \(D\) 上单调递减

例4：证明 \(f(x) = x^3\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上单调递增。

证明：设 \(x_1 < x_2\)，则： \(f(x_2) - f(x_1) = x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2)\) 其中 \(x_2 - x_1 > 0\)，而 \(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 = (x_1 + \frac{x_2}{2})^2 + \frac{3x_2^2}{4} > 0\)（不同时为零时），因此 \(f(x_2) > f(x_1)\)，故 \(f(x)\) 单调递增。

（3）奇偶性

设 \(D\) 关于原点对称：

• 若 \(f(-x) = f(x)\)，则 \(f(x)\) 为偶函数（图像关于 \(y\) 轴对称）
• 若 \(f(-x) = -f(x)\)，则 \(f(x)\) 为奇函数（图像关于原点对称）

例5：判断 \(f(x) = \ln(x + \sqrt{1+x^2})\) 的奇偶性。

解：计算 \(f(-x)\)： \(f(-x) = \ln(-x + \sqrt{1+x^2}) = \ln\frac{(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)}{\sqrt{1+x^2}+x} = \ln\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x} = -\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = -f(x)\) 因此 \(f(x)\) 是奇函数。

（4）周期性

若存在常数 \(T > 0\)，使得 \(f(x+T) = f(x)\) 对定义域内一切 \(x\) 成立，则称 \(f(x)\) 为周期函数，\(T\) 称为周期。满足条件的最小正数 \(T_0\) 称为最小正周期。

例6：求 \(f(x) = \sin 2x + \cos 3x\) 的周期。

解：\(\sin 2x\) 的周期 \(T_1 = \pi\)，\(\cos 3x\) 的周期 \(T_2 = \frac{2\pi}{3}\)。取 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数：\(T = 2\pi\)。

1.1.3 复合函数与反函数

复合函数：设 \(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，若 \(g(x)\) 的值域包含在 \(f(u)\) 的定义域中，则 \(y = f(g(x))\) 称为复合函数，记作 \(f \circ g\)。

反函数：设 \(y = f(x)\) 在 \(D\) 上严格单调，值域为 \(W\)，则存在反函数 \(x = f^{-1}(y)\)，定义域为 \(W\)，值域为 \(D\)。\(y = f(x)\) 与 \(y = f^{-1}(x)\) 的图像关于 \(y = x\) 对称。

例7：求 \(y = \dfrac{2^x}{2^x + 1}\) 的反函数。

解：由 \(y = \dfrac{2^x}{2^x + 1}\) 得 \(y(2^x + 1) = 2^x\)，即 \(2^x(1-y) = y\)，所以 \(2^x = \dfrac{y}{1-y}\)，取对数得 \(x = \log_2\dfrac{y}{1-y}\)。反函数为 \(y = \log_2\dfrac{x}{1-x}\)，定义域 \((0, 1)\)。

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练习题 1.1

1. 求函数 \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}} + \arccos\dfrac{x-1}{2}\) 的定义域。
2. 判断函数 \(f(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\) 的奇偶性。
3. 求 \(y = \dfrac{3x+1}{x-2}\) 的反函数。

答案：

1. \((-2, 1] \cup [1, 2) = (-2, 2)\)，即 \((-2, 2)\)。
2. \(f(-x) = \dfrac{e^{-x} - e^x}{e^{-x} + e^x} = -f(x)\)，为奇函数。
3. 由 \(y(x-2) = 3x+1\)，\(yx - 2y = 3x + 1\)，\(x(y-3) = 1+2y\)，\(x = \dfrac{1+2y}{y-3}\)，反函数为 \(y = \dfrac{1+2x}{x-3}\)。

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1.2 极限的概念

1.2.1 数列极限的 \(\varepsilon\)-\(N\) 定义

设 \(\{a_n\}\) 为数列，\(A\) 为常数。若对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，\(|a_n - A| < \varepsilon\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 的极限为 \(A\)，记作 \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)。

几何意义：对任意 \(\varepsilon\)-邻域 \((A-\varepsilon, A+\varepsilon)\)，数列从某一项起之后的所有项都落在该邻域内。

例8：用定义证明 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n+1}{n+3} = 2\)。

证明：对任意 \(\varepsilon > 0\)，需要 \(|\dfrac{2n+1}{n+3} - 2| < \varepsilon\)。化简： \(\left|\frac{2n+1}{n+3} - 2\right| = \left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right| = \frac{5}{n+3} < \frac{5}{n}\) 令 \(\dfrac{5}{n} < \varepsilon\)，取 \(N = \lfloor \dfrac{5}{\varepsilon} \rfloor\)，当 \(n > N\) 时，\(\dfrac{5}{n+3} < \dfrac{5}{n} < \varepsilon\)，得证。

1.2.2 函数极限的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域有定义，\(A\) 为常数。若对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(|f(x) - A| < \varepsilon\)，则称 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)。

单侧极限：

• 左极限：\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\)：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，当 \(x_0 - \delta < x < x_0\) 时，\(|f(x) - A| < \varepsilon\)
• 右极限：\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A\)：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，当 \(x_0 < x < x_0 + \delta\) 时，\(|f(x) - A| < \varepsilon\)

重要结论：\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 的充要条件是 \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A\)。

例9：讨论 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}\)。

解：当 \(x > 0\) 时，\(\dfrac{|x|}{x} = 1\)，所以 \(\lim_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = 1\)。 当 \(x < 0\) 时，\(\dfrac{|x|}{x} = -1\)，所以 \(\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x} = -1\)。 左右极限不相等，故 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}\) 不存在。

1.2.3 极限的性质

唯一性：若极限存在，则极限唯一。

局部有界性：若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域内有界。

局部保号性：若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0\)，则存在 \(\delta > 0\)，当 \(0 < |x-x_0| < \delta\) 时，\(f(x) > 0\)。

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1.3 极限的运算法则

1.3.1 四则运算法则

设 \(\lim f(x) = A\)，\(\lim g(x) = B\)，则：

• \(\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)
• \(\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)
• \(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}\)（\(B \neq 0\)）

例10：求 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\)。

解：直接代入得 \(\dfrac{0}{0}\) 型，需化简： \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4\)

例11：求 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}\)。

解：分子分母同除以 \(x^2\)： \(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{3}{1} = 3\)

一般结论：\(\lim_{x \to \infty} \dfrac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_0} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m}, & n = m \\ 0, & n < m \\ \infty, & n > m \end{cases}\)

1.3.2 夹逼准则

若在 \(x_0\) 的某去心邻域内，\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，且 \(\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A\)，则 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)。

例12：求 \(\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)\)。

解：记 \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}\)。由于 \(\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}\)，因此： \(\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \leq S_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\) 而 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = 1\)，\(\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{\sqrt{n^2+1}} = 1\)。由夹逼准则，\(\lim_{n \to \infty} S_n = 1\)。

1.3.3 两个重要极限

第一个重要极限： \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

例13：求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{\sin 5x}\)。

解： \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3}{5\cos 3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}\)

第二个重要极限： \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)

更一般地：\(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e\)。

例14：求 \(\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^{2x}\)。

解：令 \(t = \dfrac{x-1}{3}\)，当 \(x \to \infty\) 时 \(t \to \infty\)，\(x = 3t + 1\)。 \(\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{2x} = \left(1 + \frac{3}{x-1}\right)^{2x} = \left(1+\frac{1}{t}\right)^{2(3t+1)}\) \(= \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^6 \cdot \left(1+\frac{1}{t}\right)^2 \to e^6 \cdot 1 = e^6\)

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练习题 1.3

1. 求 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}\)。
2. 求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\tan 3x}\)。
3. 求 \(\lim_{x \to \infty} \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)^x\)。

答案：

1. \(\lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 3\)。
2. \(\dfrac{2}{3}\)。
3. 令 \(t = -\dfrac{x}{2}\)，则原式 \(= \lim_{t \to \infty} (1+\dfrac{1}{t})^{-2t} = e^{-2}\)。

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1.4 无穷小与无穷大

1.4.1 无穷小的概念

若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = 0\)，则称 \(f(x)\) 为当 \(x \to x_0\) 时的无穷小量。

无穷小的比较：设 \(\alpha, \beta\) 为同一过程中的无穷小，且 \(\beta \neq 0\)：

• 若 \(\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = 0\)，则 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小，记 \(\alpha = o(\beta)\)
• 若 \(\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = \infty\)，则 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的低阶无穷小
• 若 \(\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = c \neq 0\)，则 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 是同阶无穷小
• 若 \(\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = 1\)，则 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 是等价无穷小，记 \(\alpha \sim \beta\)

1.4.2 等价无穷小替换法

当 \(x \to 0\) 时，常用的等价无穷小：

• \(\sin x \sim x\)
• \(\tan x \sim x\)
• \(\arcsin x \sim x\)
• \(\arctan x \sim x\)
• \(1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\)
• \(\ln(1+x) \sim x\)
• \(e^x - 1 \sim x\)
• \((1+x)^a - 1 \sim ax\)

例15：求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x \cdot \ln(1+3x)}{(e^x - 1) \cdot \tan^2 x}\)。

解：当 \(x \to 0\) 时，\(\sin 2x \sim 2x\)，\(\ln(1+3x) \sim 3x\)，\(e^x - 1 \sim x\)，\(\tan^2 x \sim x^2\)。因此： \(\lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot 3x}{x \cdot x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{6x^2}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{x} = \infty\)

例16：求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+2x} - 1}{\sin 3x}\)。

解：当 \(x \to 0\) 时，\(\sqrt[3]{1+2x} - 1 \sim \dfrac{2x}{3}\)，\(\sin 3x \sim 3x\)。因此： \(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{3}}{3x} = \frac{2}{9}\)

注意：等价无穷小替换只能在乘除关系中使用，加减关系中不能直接替换。

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练习题 1.4

1. 求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 2x}{x \sin x}\)。
2. 求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{\ln(1+2x)}\)。

答案：

1. \(1 - \cos 2x \sim \dfrac{(2x)^2}{2} = 2x^2\)，\(x\sin x \sim x^2\)，答案为 \(2\)。
2. \(e^{3x}-1 \sim 3x\)，\(\ln(1+2x) \sim 2x\)，答案为 \(\dfrac{3}{2}\)。

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1.5 连续性

1.5.1 函数连续的定义

函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，需满足三个条件：

1. \(f(x_0)\) 有定义
2. \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在
3. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

等价定义：\(\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0\)，其中 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\)。

1.5.2 间断点的分类

若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处不连续，则 \(x_0\) 为间断点。

第一类间断点：左右极限都存在。

• 可去间断点：左右极限相等但不等于 \(f(x_0)\)，或 \(f(x_0)\) 无定义
• 跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在。

• 无穷间断点、振荡间断点等

例17：讨论 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\) 在 \(x=0\) 处的连续性。

解：\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)，而 \(f(0) = 0\)。极限存在但不等于函数值，因此 \(x=0\) 是可去间断点。若令 \(f(0) = 1\)，则函数在 \(x=0\) 处连续。

例18：讨论 \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}\) 的间断点类型。

解：\(f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\)。

• \(x=1\)：\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{2}{-1} = -2\)，左右极限相等，为可去间断点。
• \(x=2\)：\(\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+1}{x-2} = \infty\)，为无穷间断点（第二类）。

1.5.3 闭区间上连续函数的性质

最值定理：闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数必有最大值和最小值。

介值定理：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a) \neq f(b)\)，则对 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的任意实数 \(c\)，至少存在一点 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f(\xi) = c\)。

零点定理：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)，则至少存在一点 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f(\xi) = 0\)。

例19：证明方程 \(x^3 - 3x + 1 = 0\) 在 \((0, 1)\) 内至少有一个实根。

证明：设 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，\(f(0) = 1 > 0\)，\(f(1) = -1 < 0\)。\(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，\(f(0) \cdot f(1) < 0\)，由零点定理，存在 \(\xi \in (0,1)\) 使 \(f(\xi) = 0\)。

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练习题 1.5

1. 求 \(f(x) = \dfrac{x^2 - x}{|x|(x^2 - 1)}\) 的间断点并判断类型。
2. 证明方程 \(e^x = 3x\) 在 \((0, 1)\) 内有实根。

答案：

1. \(x=0\)：\(\lim_{x\to 0^+} = \lim \dfrac{x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \lim \dfrac{1}{x+1} = 1\)；\(\lim_{x\to 0^-} = \lim \dfrac{x(x-1)}{-x(x-1)(x+1)} = -1\)。跳跃间断点。\(x=1\)：\(\lim_{x\to 1} \dfrac{x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{2}\)，可去间断点。\(x=-1\)：无穷间断点。
2. 设 \(g(x) = e^x - 3x\)，\(g(0) = 1 > 0\)，\(g(1) = e - 3 < 0\)，由零点定理得证。

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第二章 导数与微分

2.1 导数的概念

2.1.1 导数的定义

设 \(y = f(x)\) 在 \(x_0\) 的某邻域内有定义，若极限 \(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) 存在，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，\(f'(x_0)\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数。

几何意义：\(f'(x_0)\) 表示曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((x_0, f(x_0))\) 处切线的斜率。切线方程为 \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)。

2.1.2 可导与连续的关系

定理：若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。反之不成立。

反例：\(f(x) = |x|\) 在 \(x=0\) 处连续但不可导（左导数为 \(-1\)，右导数为 \(1\)）。

2.1.3 基本求导公式

函数	导数
\(C\)（常数）	\(0\)
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)
\(a^x\)	\(a^x \ln a\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(\log_a x\)	\(\dfrac{1}{x \ln a}\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tan x\)	\(\sec^2 x\)
\(\cot x\)	\(-\csc^2 x\)
\(\sec x\)	\(\sec x \tan x\)
\(\csc x\)	\(-\csc x \cot x\)
\(\arcsin x\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\)	\(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\)	\(\dfrac{1}{1+x^2}\)

例20：用导数定义求 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 3\) 处的导数。

解： \(f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(3+\Delta x)^2 - 9}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{6\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (6 + \Delta x) = 6\)

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2.2 求导法则

2.2.1 四则运算求导

设 \(u(x), v(x)\) 可导，则：

• \((u \pm v)' = u' \pm v'\)
• \((uv)' = u'v + uv'\)
• \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)（\(v \neq 0\)）

例21：求 \(y = x^2 e^x \sin x\) 的导数。

解：使用乘法法则： \(y' = (x^2)' e^x \sin x + x^2 (e^x)' \sin x + x^2 e^x (\sin x)'\) \(= 2x e^x \sin x + x^2 e^x \sin x + x^2 e^x \cos x = xe^x(2\sin x + x\sin x + x\cos x)\)

2.2.2 链式法则（复合函数求导）

设 \(y = f(u)\)，\(u = g(x)\) 均可导，则 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)。

例22：求 \(y = \ln(x + \sqrt{1+x^2})\) 的导数。

解：设 \(u = x + \sqrt{1+x^2}\)，则 \(y = \ln u\)。 \(u' = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}\) \(y' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

例23：求 \(y = e^{\sin 2x}\) 的导数。

解：\(y' = e^{\sin 2x} \cdot (\sin 2x)' = e^{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x \cdot e^{\sin 2x}\)。

2.2.3 隐函数求导

由方程 \(F(x, y) = 0\) 确定的隐函数 \(y = y(x)\)，对方程两边关于 \(x\) 求导，利用链式法则解出 \(y'\)。

例24：设 \(e^y + xy - e = 0\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)。

解：两边对 \(x\) 求导：\(e^y \cdot y' + y + xy' = 0\)。解得： \(y' = \frac{-y}{e^y + x}\)

2.2.4 参数方程求导

设 \(x = \varphi(t)\)，\(y = \psi(t)\)，则： \(\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}\)

例25：设 \(x = a\cos t\)，\(y = b\sin t\)，求 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)。

解：\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{b\cos t}{-a\sin t} = -\dfrac{b}{a}\cot t\)。 \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(-\frac{b}{a}\cot t\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{b}{a}\csc^2 t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a^2\sin^3 t}\)

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练习题 2.2

1. 求 \(y = x^x\)（\(x > 0\)）的导数。
2. 设 \(x^2 + y^2 = 25\)，求 \(y''\)。
3. 设 \(x = t^2 + 1\)，\(y = t^3 - t\)，求 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)。

答案：

1. 取对数：\(\ln y = x\ln x\)，求导：\(\dfrac{y'}{y} = \ln x + 1\)，\(y' = x^x(\ln x + 1)\)。
2. \(2x + 2yy' = 0\)，\(y' = -\dfrac{x}{y}\)。\(y'' = -\dfrac{y - xy'}{y^2} = -\dfrac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\dfrac{y^2 + x^2}{y^3} = -\dfrac{25}{y^3}\)。
3. \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2-1}{2t}\)，\(\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{(6t)(2t) - (3t^2-1)(2)}{(2t)^3} = \dfrac{12t^2 - 6t^2 + 2}{8t^3} = \dfrac{6t^2+2}{8t^3} = \dfrac{3t^2+1}{4t^3}\)。

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2.3 高阶导数

\(f^{(n)}(x)\) 表示 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数。

莱布尼茨公式：\((uv)^{(n)} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}\)。

常见函数的 \(n\) 阶导数：

• \((e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}\)
• \((\sin x)^{(n)} = \sin(x + \dfrac{n\pi}{2})\)
• \((\cos x)^{(n)} = \cos(x + \dfrac{n\pi}{2})\)
• \((x^m)^{(n)} = m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}\)
• \(\left(\dfrac{1}{x+a}\right)^{(n)} = \dfrac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}\)

例26：求 \(y = x^2 e^{3x}\) 的 \(n\) 阶导数。

解：使用莱布尼茨公式，设 \(u = e^{3x}\)，\(v = x^2\)： \(u^{(k)} = 3^k e^{3x}\)，\(v' = 2x\)，\(v'' = 2\)，\(v^{(k)} = 0\)（\(k \geq 3\)）。 \(y^{(n)} = C_n^0 (e^{3x})^{(n)} x^2 + C_n^1 (e^{3x})^{(n-1)} \cdot 2x + C_n^2 (e^{3x})^{(n-2)} \cdot 2\) \(= 3^n e^{3x} x^2 + n \cdot 3^{n-1} e^{3x} \cdot 2x + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 3^{n-2} e^{3x} \cdot 2\) \(= e^{3x} \left[3^n x^2 + 2n \cdot 3^{n-1} x + n(n-1) \cdot 3^{n-2}\right]\)

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2.4 微分

2.4.1 微分的定义

若 \(y = f(x)\) 在 \(x_0\) 处的增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) 可以表示为 \(\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\)，其中 \(A\) 是与 \(\Delta x\) 无关的常数，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微，\(A\Delta x\) 称为微分，记 \(dy = A dx\)，且 \(A = f'(x_0)\)。

可微与可导的关系：\(f(x)\) 在 \(x_0\) 可微 \(\Leftrightarrow\) \(f(x)\) 在 \(x_0\) 可导。

微分的几何意义：微分 \(dy\) 表示切线上纵坐标的增量。

2.4.2 微分在近似计算中的应用

当 \(|\Delta x|\) 很小时：\(f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x\)。

例27：利用微分计算 \(\sqrt[3]{1.02}\) 的近似值。

解：设 \(f(x) = \sqrt[3]{x}\)，\(x_0 = 1\)，\(\Delta x = 0.02\)。 \(f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}, \quad f'(1) = \frac{1}{3}\) \(\sqrt[3]{1.02} \approx 1 + \frac{1}{3} \times 0.02 = 1 + \frac{0.02}{3} \approx 1.00667\)

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练习题 2.4

1. 求 \(y = \sin 3x\) 在 \(x = 0\) 处的微分。
2. 利用微分计算 \(\ln 1.01\) 的近似值。

答案：

1. \(dy = 3\cos 3x \, dx\)，在 \(x=0\) 处 \(dy = 3dx\)。
2. 设 \(f(x) = \ln x\)，\(x_0 = 1\)，\(\Delta x = 0.01\)，\(f'(1) = 1\)，\(\ln 1.01 \approx 0 + 1 \times 0.01 = 0.01\)。

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第三章 中值定理与导数应用

3.1 中值定理

3.1.1 罗尔定理

若 \(f(x)\) 满足：

1. 在 \([a,b]\) 上连续
2. 在 \((a,b)\) 内可导
3. \(f(a) = f(b)\)

则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f'(\xi) = 0\)。

例28：不求导，判断 \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\) 的 \(f'(x) = 0\) 有几个实根。

解：\(f(1) = f(2) = f(3) = 0\)。\(f(x)\) 在 \([1,2]\) 和 \([2,3]\) 上满足罗尔定理条件，故存在 \(\xi_1 \in (1,2)\)，\(\xi_2 \in (2,3)\) 使 \(f'(\xi_1) = f'(\xi_2) = 0\)。\(f'(x)\) 是二次多项式，至多两个实根，故恰有两个实根。

3.1.2 拉格朗日中值定理

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得： \(f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)

推论：若 \(f'(x) \equiv 0\)，则 \(f(x) \equiv C\)（常数）。

例29：证明 \(\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}\)（\(|x| \leq 1\)）。

证明：设 \(f(x) = \arcsin x + \arccos x\)，则 \(f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0\)。因此 \(f(x) = C\)。取 \(x=0\)，\(f(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}\)。故 \(f(x) = \dfrac{\pi}{2}\)。

3.1.3 柯西中值定理

若 \(f(x), g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，且 \(g'(x) \neq 0\)，则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得： \(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)

这是洛必达法则的理论基础。

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练习题 3.1

1. 证明方程 \(x^5 + x - 1 = 0\) 只有一个正实根。
2. 证明 \(|\sin b - \sin a| \leq |b - a|\)。

答案：

1. 设 \(f(x) = x^5 + x - 1\)，\(f(0) = -1 < 0\)，\(f(1) = 1 > 0\)，由零点定理至少一个正根。\(f'(x) = 5x^4 + 1 > 0\)，\(f(x)\) 严格单调递增，至多一个正根。故恰有一个。
2. 由拉格朗日中值定理，\(\sin b - \sin a = \cos\xi \cdot (b-a)\)，因此 \(|\sin b - \sin a| = |\cos\xi| \cdot |b-a| \leq |b-a|\)。

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3.2 洛必达法则

3.2.1 \(\dfrac{0}{0}\) 型和 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型

若 \(\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) 为 \(\dfrac{0}{0}\) 或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，且 \(\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在（或为 \(\infty\)），则： \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

例30：求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}\)。

解：\(\dfrac{0}{0}\) 型，应用洛必达法则： \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}\)

例31：求 \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2}\)。

解：\(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型： \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2} = 0\)

3.2.2 其他未定式转化

\(0 \cdot \infty\)、\(\infty - \infty\)、\(0^0\)、\(1^\infty\)、\(\infty^0\) 型均可转化为 \(\dfrac{0}{0}\) 或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型。

例32：求 \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x\)。

解：\(0 \cdot \infty\) 型，转化为： \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0\)

例33：求 \(\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\)。

解：\(1^\infty\) 型。令 \(y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\)，则 \(\ln y = \dfrac{\ln\cos x}{x^2}\)。 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2x} = -\frac{1}{2}\) 因此原极限 \(= e^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}\)。

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练习题 3.2

1. 求 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\)。
2. 求 \(\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{1}{\ln x}\right)\)。

答案：

1. 连续使用洛必达：\(\dfrac{e^x + e^{-x} - 2}{1-\cos x}\) → \(\dfrac{e^x - e^{-x}}{\sin x}\) → \(\dfrac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \dfrac{2}{1} = 2\)。
2. 通分：\(\dfrac{x\ln x - (x-1)}{(x-1)\ln x}\)，\(\dfrac{0}{0}\) 型，洛必达：\(\dfrac{\ln x + 1 - 1}{\ln x + \frac{x-1}{x}} = \dfrac{\ln x}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}}\)。再洛必达：\(\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}} = \dfrac{1}{2}\)。

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3.3 函数的单调性与极值

3.3.1 单调性判别

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导：

• 若 \(f'(x) > 0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上严格递增
• 若 \(f'(x) < 0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上严格递减

例34：讨论 \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3\) 的单调区间。

解：\(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)\)。

• \(x < 1\)：\(f'(x) > 0\)，递增
• \(1 < x < 2\)：\(f'(x) < 0\)，递减
• \(x > 2\)：\(f'(x) > 0\)，递增

单调递增区间：\((-\infty, 1)\) 和 \((2, +\infty)\)；单调递减区间：\((1, 2)\)。

3.3.2 极值的判别

第一充分条件（一阶导数判别法）：

• \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 左侧为正、右侧为负 → 极大值
• \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 左侧为负、右侧为正 → 极小值

第二充分条件（二阶导数判别法）： 若 \(f'(x_0) = 0\)：

• \(f''(x_0) < 0\) → 极大值
• \(f''(x_0) > 0\) → 极小值

例35：求 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) 的极值。

解：\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)，令 \(f'(x) = 0\)，\(x = 0\) 或 \(x = 2\)。 \(f''(x) = 6x - 6\)。

• \(f''(0) = -6 < 0\)，\(x=0\) 处取极大值 \(f(0) = 1\)
• \(f''(2) = 6 > 0\)，\(x=2\) 处取极小值 \(f(2) = 8 - 12 + 1 = -3\)

3.3.3 最值问题

闭区间上求最值的步骤：

1. 求 \(f'(x) = 0\) 的根和不可导点（驻点）
2. 计算驻点、不可导点、端点处的函数值
3. 比较取最大最小值

例36：求 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) 在 \([-3, 3]\) 上的最大值和最小值。

解：\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\)，驻点 \(x = \pm 1\)。

• \(f(-3) = -27 + 9 + 2 = -16\)
• \(f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\)
• \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\)
• \(f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\)

最大值为 \(f(3) = 20\)，最小值为 \(f(-3) = -16\)。

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3.4 曲线的凹凸性与拐点

3.4.1 凹凸性判别

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内二阶可导：

• 若 \(f''(x) > 0\)，曲线凹（向上凹，\(\cup\)）
• 若 \(f''(x) < 0\)，曲线凸（向上凸，\(\cap\)）

3.4.2 拐点求法

拐点是曲线凹凸性改变的点。

求法：令 \(f''(x) = 0\) 或 \(f''(x)\) 不存在，检查该点两侧 \(f''(x)\) 的符号是否改变。

例37：求 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2\) 的拐点。

解：\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x\)，\(f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x-1)^2\)。 \(f''(x) = 0\) 时 \(x = 1\)。但 \(f''(x) = 12(x-1)^2 \geq 0\) 恒成立，\(x=1\) 两侧符号不改变，因此没有拐点。

例38：求 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) 的拐点。

解：\(f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)\)。

• \(x < 1\)：\(f''(x) < 0\)（凸）
• \(x > 1\)：\(f''(x) > 0\)（凹）

\(x=1\) 处凹凸性改变，\(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\)。拐点为 \((1, 0)\)。

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练习题 3.4

1. 求 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1\) 的极值和拐点。
2. 求 \(f(x) = x + \dfrac{1}{x}\)（\(x > 0\)）的最小值。

答案：

1. \(f'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x-1)\)，\(f'(x)=0\) 时 \(x=0\) 或 \(x=1\)。\(f''(x) = 36x^2 - 24x = 12x(3x-2)\)。\(f''(1) = 12 > 0\)，\(x=1\) 为极小值点，\(f(1)=0\)。\(f''(0)=0\)，需用一阶导数判别：\(x<0\) 时 \(f'<0\)，\(0<x<1\) 时 \(f'<0\)，不是极值点。拐点：\(f''(x)=0\) 时 \(x=0\) 或 \(x=\frac{2}{3}\)。检查两侧符号变化，\((0,1)\) 和 \((\frac{2}{3}, \frac{11}{27})\) 为拐点。
2. \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = 0\)，\(x = 1\)。\(f''(1) = 2 > 0\)，最小值 \(f(1) = 2\)。

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总结

本教程涵盖了高等数学上册的三大核心板块：

1. 函数与极限：从函数的基本性质出发，建立了极限的严格定义，掌握了极限的各种计算方法，理解了连续性与间断点的分类。

2. 导数与微分：从导数的定义出发，掌握了各种求导法则和技巧，理解了微分的概念及其应用。

3. 中值定理与导数应用：以罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为理论基础，运用洛必达法则求极限，利用导数研究函数的单调性、极值、凹凸性等几何特性。

这些内容是高等数学的基石，后续学习积分、级数等内容时都会反复用到。建议读者在理解概念的基础上，多做练习题，熟练掌握各种计算方法和证明技巧。