三年级数学上册教程——多位数乘一位数与分数初步

前言

本教程专为三年级上学期的学生和家长编写，系统梳理本学期数学课程的核心知识点。三年级上册是小学数学学习的关键时期，学生将学习多位数乘一位数的计算方法，掌握万以内加减法的运算技巧，认识新的长度单位毫米、分米和千米，学习长方形和正方形的周长计算，以及初步接触分数的概念。

本教程涵盖以下主要内容：

• 多位数乘一位数：掌握两、三位数乘一位数的笔算方法
• 万以内的加法和减法：掌握进位加法和退位减法
• 测量：认识毫米、分米、千米，掌握单位换算
• 长方形和正方形：认识特征，学会计算周长
• 分数的初步认识：理解分数的含义，学会简单的分数加减法

每个章节都配有核心概念讲解、典型例题和练习题，帮助同学们扎实掌握知识。让我们开始学习吧！

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第一章 多位数乘一位数

1.1 核心概念

整十、整百数乘一位数：先用一位数乘整十或整百数中0前面的数，再在积的末尾添上相应个数的0。

两、三位数乘一位数的笔算方法：从个位起，用一位数依次去乘多位数每一位上的数，哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。

0和任何数相乘都得0。

一个因数中间或末尾有0的乘法：注意0的处理，该进位时要进位。

1.2 详细讲解

（一）整十、整百数乘一位数

口算方法：先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。

例如：

• 20 × 3 = 60（想：2×3=6，末尾添1个0）
• 300 × 2 = 600（想：3×2=6，末尾添2个0）

（二）两、三位数乘一位数的笔算

以 23 × 3 为例：

    2 3
  ×   3
  -----
    6 9

步骤：

1. 3 × 3 = 9，写在个位上
2. 3 × 2 = 6，写在十位上
3. 结果是69

需要进位的情况：以 27 × 3 为例：

    2 7
  ×   3
  -----
    8 1

步骤：

1. 3 × 7 = 21，个位写1，向十位进2
2. 3 × 2 = 6，加上进位的2，得8
3. 结果是81

（三）三位数乘一位数

以 123 × 4 为例：

    1 2 3
  ×     4
  -------
    4 9 2

步骤：

1. 4 × 3 = 12，个位写2，向十位进1
2. 4 × 2 = 8，加上进位的1，得9
3. 4 × 1 = 4
4. 结果是492

（四）因数中间有0的乘法

以 102 × 3 为例：

    1 0 2
  ×     3
  -------
    3 0 6

步骤：

1. 3 × 2 = 6
2. 3 × 0 = 0
3. 3 × 1 = 3
4. 结果是306

注意：0乘任何数都得0，但如果有进位，要加上进位的数。例如 108 × 3：

• 3 × 8 = 24，个位写4，进2
• 3 × 0 = 0，加进位2，得2
• 3 × 1 = 3
• 结果是324

（五）因数末尾有0的乘法

以 250 × 4 为例：

方法一（竖式简便写法）：

    2 5 0
  ×     4
  -------
  1 0 0 0

先把0前面的数25×4=100，再在末尾添1个0，得1000。

1.3 典型例题

例1：计算 312 × 3。

解：

    3 1 2
  ×     3
  -------
    9 3 6

步骤：

1. 3 × 2 = 6
2. 3 × 1 = 3
3. 3 × 3 = 9
4. 结果是936

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例2：计算 156 × 4。

解：

    1 5 6
  ×     4
  -------
    6 2 4

步骤：

1. 4 × 6 = 24，个位写4，进2
2. 4 × 5 = 20，加进位2 = 22，十位写2，进2
3. 4 × 1 = 4，加进位2 = 6
4. 结果是624

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例3：学校有3个年级，每个年级有208人，全校一共有多少人？

解：208 × 3 = 624（人）

答：全校一共有624人。

1.4 练习题

1. 口算。

   • 40 × 2 = ______
   • 300 × 3 = ______
   • 50 × 6 = ______
   • 200 × 4 = ______

2. 用竖式计算。

   • 34 × 2 = ______
   • 125 × 3 = ______
   • 416 × 2 = ______
   • 207 × 4 = ______
   • 350 × 3 = ______

3. 判断对错。

   • 105 × 4 = 420 （ ）
   • 250 × 4 = 1000 （ ）

4. 应用题。 （1）一本练习本3元，买125本需要多少元？ （2）一辆客车可以坐45人，3辆客车一共可以坐多少人？

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第二章 万以内的加法和减法

2.1 核心概念

万以内加法：相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

万以内减法：相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位退一当十，和本位上的数合起来再减。

加减法的验算：

• 加法验算：交换两个加数的位置，和不变；或者用和减去一个加数，看是否等于另一个加数。
• 减法验算：用差加上减数，看是否等于被减数。

2.2 详细讲解

（一）三位数加三位数（进位加法）

以 267 + 185 为例：

    2 6 7
  + 1 8 5
  -------
    4 5 2

步骤：

1. 个位：7 + 5 = 12，写2进1
2. 十位：6 + 8 = 14，加上进位1 = 15，写5进1
3. 百位：2 + 1 = 3，加上进位1 = 4
4. 结果是452

（二）三位数减三位数（退位减法）

以 403 - 158 为例：

    4 0 3
  - 1 5 8
  -------
    2 4 5

步骤：

1. 个位：3不够减8，向十位借1，但十位是0，需要继续向百位借。百位借1到十位变成10，十位再借1到个位变成13。13 - 8 = 5
2. 十位：十位原来是0，被借走1后剩9（从百位借来的10减去借给个位的1），9 - 5 = 4
3. 百位：4被借走1剩3，3 - 1 = 2
4. 结果是245

（三）加减法的估算

把每个加数（或被减数、减数）看成与它接近的整百数或整千数，再进行计算。

例如：296 + 408 ≈ 300 + 400 = 700

2.3 典型例题

例1：计算并验算 356 + 478。

解：

    3 5 6
  + 4 7 8
  -------
    8 3 4

验算：交换位置，478 + 356 = 834 ✓

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例2：计算 500 - 267。

解：

    5 0 0
  - 2 6 7
  -------
    2 3 3

步骤：

1. 个位：0不够减7，向十位借，十位是0，再向百位借。百位借1到十位变10，十位借1到个位变10，10-7=3
2. 十位：被借后剩9，9-6=3
3. 百位：5被借1剩4，4-2=2
4. 结果是233

2.4 练习题

1. 用竖式计算。

   • 456 + 378 = ______
   • 702 - 365 = ______
   • 1000 - 537 = ______
   • 289 + 546 = ______

2. 估算。

   • 398 + 205 ≈ ______
   • 603 - 397 ≈ ______

3. 验算下面的计算是否正确。

   • 567 + 348 = 915（ ）
   • 800 - 245 = 555（ ）

4. 应用题。 （1）图书馆有故事书456本，科技书378本，故事书和科技书一共有多少本？ （2）果园里有苹果树500棵，梨树比苹果树少168棵，梨树有多少棵？

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第三章 测量

3.1 核心概念

长度单位：毫米（mm）、厘米（cm）、分米（dm）、米（m）、千米（km）

单位换算：

• 1厘米 = 10毫米
• 1分米 = 10厘米 = 100毫米
• 1米 = 10分米 = 100厘米 = 1000毫米
• 1千米 = 1000米

质量单位：克（g）、千克（kg）、吨（t）

质量单位换算：

• 1千克 = 1000克
• 1吨 = 1000千克

3.2 详细讲解

（一）毫米（mm）

毫米是比厘米更小的长度单位。量比较短的物体的长度或者要求量得比较精确时，可以用毫米作单位。

1厘米中间有10个小格，每个小格的长度是1毫米。

生活中的1毫米：1分硬币的厚度大约是1毫米，身份证的厚度大约是1毫米。

（二）分米（dm）

1分米 = 10厘米

生活中的1分米：粉笔盒的高度大约是1分米，手掌的宽度大约是1分米。

（三）千米（km）

千米是计量较长距离的单位，也叫公里。

1千米 = 1000米

生活中的1千米：操场跑道250米一圈，跑4圈就是1千米。

（四）吨（t）

吨是计量较重物品质量的单位。

1吨 = 1000千克

生活中的1吨：大约是2头牛的质量，或者40个小朋友的体重之和。

（五）单位换算的方法

• 大单位换小单位：乘以进率。例如：3米 = 3 × 10 = 30分米
• 小单位换大单位：除以进率。例如：5000克 = 5000 ÷ 1000 = 5千克

3.3 典型例题

例1：填空。

5千米 = ______米

3000克 = ______千克

解：

5千米 = 5 × 1000 = 5000米

3000克 = 3000 ÷ 1000 = 3千克

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例2：在○里填上">"、"<"或"="。

4厘米 ○ 40毫米 3吨 ○ 300千克

解：

4厘米 = 40毫米，所以4厘米 = 40毫米

3吨 = 3000千克 > 300千克，所以3吨 > 300千克

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例3：一根绳子长2米，剪去5分米，还剩多少分米？

解：2米 = 20分米

20 - 5 = 15（分米）

答：还剩15分米。

3.4 练习题

1. 填空。

   • 2厘米 = ______毫米
   • 7分米 = ______厘米
   • 4千米 = ______米
   • 6000千克 = ______吨
   • 3米 = ______分米 = ______厘米

2. 在（ ）里填上合适的单位。

   • 一棵大树高约8（ ）
   • 一本数学书厚约8（ ）
   • 一辆汽车每小时行驶60（ ）
   • 一头大象重约5（ ）
   • 小明身高135（ ）

3. 比较大小。

   • 5000米 ○ 5千米
   • 80厘米 ○ 8分米
   • 2吨 ○ 2000千克
   • 15毫米 ○ 2厘米

4. 应用题。 （1）一条绳子长50米，剪去18米后，把剩下的平均分成4段，每段长多少米？ （2）一辆货车装了3吨货物，卸下800千克后，车上还有多少千克货物？

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第四章 长方形和正方形

4.1 核心概念

长方形的特征：有4条边，对边相等；有4个角，都是直角。较长的边叫长，较短的边叫宽。

正方形的特征：有4条边，4条边都相等；有4个角，都是直角。正方形的每条边都叫边长。

正方形是特殊的长方形。

周长：封闭图形一周的长度就是它的周长。

长方形周长 =（长 + 宽）× 2

正方形周长 = 边长 × 4

4.2 详细讲解

（一）认识长方形和正方形

长方形：

• 对边相等（上下两条边相等，左右两条边相等）
• 四个角都是直角
• 长方形有2条对称轴

正方形：

• 四条边都相等
• 四个角都是直角
• 正方形有4条对称轴

（二）周长的计算

长方形周长：

公式：周长 =（长 + 宽）× 2

推导：长方形有两条长和两条宽，周长 = 长 + 宽 + 长 + 宽 =（长 + 宽）× 2

例如：一个长方形，长8厘米，宽5厘米。 周长 =（8 + 5）× 2 = 13 × 2 = 26（厘米）

正方形周长：

公式：周长 = 边长 × 4

推导：正方形4条边都相等，周长 = 边长 + 边长 + 边长 + 边长 = 边长 × 4

例如：一个正方形，边长6厘米。 周长 = 6 × 4 = 24（厘米）

（三）已知周长求边长

长方形：已知周长和长，求宽 = 周长 ÷ 2 - 长

正方形：边长 = 周长 ÷ 4

4.3 典型例题

例1：一个长方形花坛，长12米，宽8米，它的周长是多少米？

解：周长 =（12 + 8）× 2 = 20 × 2 = 40（米）

答：花坛的周长是40米。

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例2：一根铁丝可以围成一个边长为9厘米的正方形，如果改围成一个长方形，长是12厘米，宽是多少厘米？

解：

先求铁丝的长度（正方形周长）：9 × 4 = 36（厘米）

长方形周长也是36厘米。

宽 = 36 ÷ 2 - 12 = 18 - 12 = 6（厘米）

答：宽是6厘米。

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例3：用两个长5厘米、宽3厘米的长方形拼成一个大长方形，这个大长方形的周长是多少？

解：

有两种拼法：

拼法一（长边相接）：大长方形的长 = 5 + 5 = 10厘米，宽 = 3厘米 周长 =（10 + 3）× 2 = 13 × 2 = 26（厘米）

拼法二（宽边相接）：大长方形的长 = 5厘米，宽 = 3 + 3 = 6厘米 周长 =（5 + 6）× 2 = 11 × 2 = 22（厘米）

答：大长方形的周长是26厘米或22厘米。

4.4 练习题

1. 填空。

   • 长方形的周长 =（ ）
   • 正方形的周长 =（ ）
   • 长方形有（ ）条边，对边（ ）；有（ ）个角，都是（ ）角。

2. 计算下面图形的周长。

   • 长方形：长15厘米，宽9厘米。周长 = ______
   • 正方形：边长7分米。周长 = ______

3. 一个正方形的周长是36厘米，它的边长是多少厘米？

4. 一块长方形菜地，长20米，宽15米，如果在四周围上篱笆，篱笆长多少米？

5. 用一根48厘米长的铁丝围成一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米？

6. 把两个边长为4厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？

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第五章 分数的初步认识

5.1 核心概念

分数的含义：把一个物体或一个整体平均分成几份，取其中的一份或几份，可以用分数来表示。

分数的各部分名称：

• 分子（取了几份）
• 分数线（表示平均分）
• 分母（平均分成几份）

例如：\(\frac{3}{4}\)，分母是4（平均分成4份），分子是3（取了其中3份），读作"四分之三"。

分数的大小比较：

• 分子相同的分数，分母大的反而小。
• 分母相同的分数，分子大的就大。

简单的分数加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。

5.2 详细讲解

（一）认识几分之一

把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。

例如：

• 把一个饼平均分成2份，每份是这个饼的 \(\frac{1}{2}\)（二分之一）
• 把一个长方形平均分成4份，每份是它的 \(\frac{1}{4}\)（四分之一）

注意：必须是"平均分"才能用分数表示！

（二）认识几分之几

把一个物体平均分成几份，取其中的几份，就是几分之几。

例如：把一个圆平均分成8份，取了其中的3份，就是 \(\frac{3}{8}\)。

（三）分数各部分的含义

以 \(\frac{3}{5}\) 为例：

• 分母5：表示平均分成5份
• 分子3：表示取了其中3份
• 分数线：表示平均分

（四）分数的大小比较

同分母比大小：分子大的分数大。

例如：\(\frac{3}{8}\) ○ \(\frac{5}{8}\)，分母相同，3 < 5，所以 \(\frac{3}{8} < \frac{5}{8}\)

同分子比大小：分母大的分数反而小。

例如：\(\frac{1}{3}\) ○ \(\frac{1}{5}\)，分子相同，3 < 5，所以 \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\)

（把一个东西分成3份和分成5份，分成3份的每一份更大）

（五）同分母分数的加减法

方法：分母不变，分子相加减。

例如：

• \(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}\)
• \(\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)（结果能约分的要约分，不过二年级阶段可暂不强调）

（六）1与分数的关系

1可以写成分子和分母相同的任何分数。

例如：\(1 = \frac{3}{3} = \frac{5}{5} = \frac{8}{8}\)

5.3 典型例题

例1：用分数表示下面各图中的阴影部分。

（1）一个长方形平均分成6份，阴影部分是其中的2份。（ ）

（2）一个圆平均分成4份，阴影部分是其中的1份。（ ）

解：

（1）\(\frac{2}{6}\)

（2）\(\frac{1}{4}\)

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例2：比较大小。

\(\frac{2}{5}\) ○ \(\frac{4}{5}\)

\(\frac{1}{6}\) ○ \(\frac{1}{4}\)

解：

\(\frac{2}{5}\) < \(\frac{4}{5}\)（同分母，2 < 4）

\(\frac{1}{6}\) < \(\frac{1}{4}\)（同分子，6 > 4，所以分母大的反而小）

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例3：计算。

\(\frac{3}{8} + \frac{4}{8}\) = ______

\(\frac{7}{10} - \frac{3}{10}\) = ______

解：

\(\frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3+4}{8} = \frac{7}{8}\)

\(\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7-3}{10} = \frac{4}{10}\)

5.4 练习题

1. 用分数表示下面各图中的阴影部分。

   • 一个正方形平均分成4份，阴影部分是3份。______
   • 一条线段平均分成5份，取了其中2份。______

2. 读出下面的分数。

   • \(\frac{3}{7}\) 读作：______
   • \(\frac{5}{8}\) 读作：______

3. 写出下面的分数。

   • 五分之二 写作：______
   • 九分之四 写作：______

4. 比较大小。

   • \(\frac{1}{3}\) ○ \(\frac{2}{3}\)
   • \(\frac{3}{4}\) ○ \(\frac{3}{8}\)
   • \(\frac{5}{6}\) ○ \(\frac{5}{7}\)

5. 计算。

   • \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\) = ______
   • \(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}\) = ______
   • \(\frac{3}{10} + \frac{6}{10}\) = ______

6. 一根绳子，小明用了它的 \(\frac{2}{7}\)，小红用了它的 \(\frac{3}{7}\)，两人一共用了这根绳子的几分之几？

7. 一块巧克力平均分成8块，小明吃了3块，小红吃了2块，还剩几分之几？

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综合练习题

1. 口算。

   • 60 × 3 = ______
   • 400 × 5 = ______
   • 25 × 4 = ______
   • 0 × 89 = ______

2. 用竖式计算。

   • 267 × 3 = ______
   • 1005 × 2 = ______
   • 456 + 378 = ______
   • 700 - 265 = ______

3. 填空。

   • 3千米 = ______米
   • 5000克 = ______千克
   • 8厘米 = ______毫米
   • 6米 = ______分米

4. 在（ ）里填上合适的单位。

   • 课桌高约7（ ）
   • 一头鲸鱼重约20（ ）
   • 一支铅笔长约18（ ）
   • 飞机每小时飞行800（ ）

5. 计算下面图形的周长。

   • 长方形：长18米，宽12米。周长 = ______
   • 正方形：边长15厘米。周长 = ______

6. 用分数表示。

   • 把一个苹果平均分成6份，吃了4份，吃了这个苹果的 \(\frac{（ ）}{（ ）}\)

7. 比较大小。

   • \(\frac{3}{5}\) ○ \(\frac{4}{5}\)
   • \(\frac{1}{7}\) ○ \(\frac{1}{5}\)

8. 计算。

   • \(\frac{2}{9} + \frac{5}{9}\) = ______
   • \(\frac{8}{11} - \frac{3}{11}\) = ______

9. 应用题。 （1）商店卖出3箱饮料，每箱24瓶，一共卖出多少瓶？ （2）一条路长856米，第一天修了278米，第二天修了345米，还剩多少米没修？ （3）一个长方形操场，长100米，宽60米，小明沿着操场跑了2圈，他跑了多少米？ （4）一根铁丝长48分米，围成一个正方形后，还剩多少分米？ （5）一桶油，第一天用了全部的 \(\frac{2}{9}\)，第二天用了全部的 \(\frac{4}{9}\)，两天一共用了全部的几分之几？

10. 思考题。 两个相同的长方形，长8厘米、宽5厘米，把它们拼成一个大长方形，大长方形的周长可能是多少厘米？

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学习方法建议

1. 多位数乘一位数——打好计算基础

• 熟背乘法口诀：这是多位数乘法的根基，必须做到脱口而出
• 竖式书写规范：数位对齐，进位标记清楚，养成好习惯
• 验算习惯：每次计算后用估算或重新算一遍来检验

2. 万以内加减法——注意进退位

• 进位加法：满十进一，别忘加进位
• 退位减法：不够减时退一当十，连续退位要细心
• 估算练习：先估后算，培养数感

3. 测量——联系生活实际

• 感知长度和质量：用手比划1厘米、1分米、1米有多长；感受1克、1千克有多重
• 单位换算：记住"大化小乘进率，小化大除以进率"
• 选择合适单位：根据物体的实际大小选择合适的单位

4. 长方形和正方形——理解公式推导

• 不要死记公式：理解周长是怎么算出来的
• 动手量一量：用尺子量身边长方形物体的长和宽，再算周长
• 画图辅助：遇到拼接、裁剪问题时画图帮助理解

5. 分数初步认识——建立分数概念

• 动手折一折：用纸折出 \(\frac{1}{2}\)、\(\frac{1}{4}\) 等，直观感受分数
• 理解"平均分"：强调只有平均分才能用分数表示
• 循序渐进：先认识几分之一，再认识几分之几，最后学加减法

6. 通用学习建议

• 预习-听讲-复习三部曲：每天坚持这个学习循环
• 错题整理：把做错的题记在本子上，每周回顾一次
• 定时练习：每天花15-20分钟做计算练习，保持手感
• 不懂就问：有疑问及时向老师或家长请教

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总结

三年级上册的数学学习内容丰富而重要。通过本学期的学习，同学们将：

1. 掌握多位数乘一位数：学会两、三位数乘一位数的笔算方法，理解进位乘法的计算过程
2. 熟练万以内加减法：能够正确计算进位加法和退位减法，并学会验算
3. 认识常用长度和质量单位：掌握毫米、分米、千米和克、千克、吨的换算
4. 学会周长计算：理解长方形和正方形的特征，能够计算周长
5. 初步认识分数：理解分数的含义，能够比较分数大小并进行简单的加减法

数学学习需要耐心和坚持。希望同学们在学习中保持好奇心，勤于思考，善于总结。每天进步一点点，积少成多，你一定会成为数学小达人！

相信自己，你一定行！ 🌟