四年级数学下册教程——四则运算与小数的意义

前言

亲爱的同学和家长们，四年级下册数学是小学数学学习的关键阶段。这个学期的内容非常重要，它承上启下，既巩固了之前学过的整数运算，又引入了小数的概念，为五年级学习分数打下基础。

本教程将系统讲解四年级下册数学的核心知识点，包括：四则混合运算的顺序和方法、加法和乘法的运算定律、小数的意义和性质、小数的加减法、三角形的认识、图形的运动（轴对称和平移）等。每一章都配有详细的讲解、典型例题和丰富的练习题。

建议同学们每天坚持做5-10道计算题，保持计算的熟练度；遇到不懂的概念，多画图、多举例，把抽象的知识变得具体形象。家长可以配合孩子一起做数学游戏，让学习变得更有趣。

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第一章 四则混合运算

1.1 核心概念

四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种基本运算。当一个算式中同时出现多种运算时，需要按照一定的顺序来计算，这就是运算顺序。

关键要点：

• 掌握没有括号的四则混合运算顺序
• 掌握有括号的四则混合运算顺序
• 能够正确计算含有两步或三步的混合运算
• 学会用综合算式解决实际问题

1.2 详细讲解

一、没有括号的混合运算

规则1：只有加减或只有乘除，从左往右依次计算。

示例：

• 25 + 36 - 18 = 61 - 18 = 43
• 48 ÷ 6 × 2 = 8 × 2 = 16

规则2：既有加减又有乘除，先算乘除，后算加减。

示例：

• 36 + 24 ÷ 4 = 36 + 6 = 42
• 15 × 3 - 20 = 45 - 20 = 25

为什么乘除要先算？ 因为在数学中，乘除是较高一级的运算，加减是较低一级的运算。高级运算优先于低级运算。可以这样记忆：乘除是"大哥"，加减是"小弟"，大哥优先。

二、有括号的混合运算

规则：有括号的，先算括号里面的。

示例：

• (36 + 24) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15
• 15 × (3 - 2) + 20 = 15 × 1 + 20 = 15 + 20 = 35

三、混合运算的完整顺序

1. 先算括号里面的
2. 再算乘除
3. 最后算加减
4. 同级运算从左往右算

四、用综合算式解决问题

遇到实际问题时，可以分步列式，也可以列综合算式。

示例： 商店运来苹果50千克，运来的梨比苹果多12千克，运来的香蕉是梨的2倍。运来香蕉多少千克？

分步算式：

• 梨：50 + 12 = 62（千克）
• 香蕉：62 × 2 = 124（千克）

综合算式：

• (50 + 12) × 2 = 62 × 2 = 124（千克）

1.3 典型例题

例题1： 计算 48 - 18 ÷ 6 + 7

解答： 先算除法：18 ÷ 6 = 3 再从左往右算：48 - 3 + 7 = 45 + 7 = 52

例题2： 计算 (48 - 18) ÷ 6 + 7

解答： 先算括号：48 - 18 = 30 再算除法：30 ÷ 6 = 5 最后算加法：5 + 7 = 12

例题3： 学校买来3箱粉笔，每箱25盒，用去了40盒，还剩多少盒？

解答： 综合算式：25 × 3 - 40 = 75 - 40 = 35（盒） 答：还剩35盒。

例题4： 小明有45元钱，买了一本12元的书和一支8元的笔，还剩多少钱？

解答： 综合算式：45 - 12 - 8 = 33 - 8 = 25（元） 或：45 - (12 + 8) = 45 - 20 = 25（元） 答：还剩25元。

1.4 练习题

1. 计算：35 + 15 × 4 = ？
2. 计算：(35 + 15) × 4 = ？
3. 计算：100 - 60 ÷ 5 = ？
4. 计算：(100 - 60) ÷ 5 = ？
5. 计算：24 × 3 + 36 ÷ 9 = ？
6. 计算：48 ÷ (2 + 6) × 3 = ？
7. 计算：72 ÷ 8 - 4 + 6 = ？
8. 学校有5个班，每班42人，毕业了80人，还剩多少人？
9. 果园里有桃树120棵，苹果树是桃树的3倍，苹果树比桃树多多少棵？
10. 小明买了4支铅笔，每支2元，付了20元，应找回多少钱？

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第二章 运算定律

2.1 核心概念

运算定律是数学中一些重要的规律，掌握这些定律可以帮助我们更简便地进行计算。

关键要点：

• 加法交换律和结合律
• 乘法交换律、结合律和分配律
• 减法的性质和除法的性质
• 学会用运算定律进行简便计算

2.2 详细讲解

一、加法交换律

定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

字母表示： a + b = b + a

示例： 35 + 48 = 48 + 35 = 83

二、加法结合律

定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

字母表示： (a + b) + c = a + (b + c)

示例： (28 + 35) + 65 = 28 + (35 + 65) = 28 + 100 = 128

三、乘法交换律

定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

字母表示： a × b = b × a

示例： 25 × 4 = 4 × 25 = 100

四、乘法结合律

定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

字母表示： (a × b) × c = a × (b × c)

示例： (25 × 7) × 4 = 25 × (7 × 4) = 25 × 28 = 700

五、乘法分配律（最重要！）

定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。

字母表示： (a + b) × c = a × c + b × c

示例： (10 + 4) × 25 = 10 × 25 + 4 × 25 = 250 + 100 = 350

逆用： a × c + b × c = (a + b) × c 示例： 36 × 7 + 64 × 7 = (36 + 64) × 7 = 100 × 7 = 700

六、减法的性质

一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。

字母表示： a - b - c = a - (b + c)

示例： 256 - 48 - 52 = 256 - (48 + 52) = 256 - 100 = 156

七、除法的性质

一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。

字母表示： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

示例： 1200 ÷ 25 ÷ 4 = 1200 ÷ (25 × 4) = 1200 ÷ 100 = 12

2.3 典型例题

例题1： 用简便方法计算：78 + 56 + 22

解答： 78 + 56 + 22 = (78 + 22) + 56（加法交换律和结合律） = 100 + 56 = 156

例题2： 用简便方法计算：25 × 37 × 4

解答： 25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37（乘法交换律） = 100 × 37 = 3700

例题3： 用简便方法计算：99 × 36

解答： 99 × 36 = (100 - 1) × 36（乘法分配律） = 100 × 36 - 1 × 36 = 3600 - 36 = 3564

例题4： 用简便方法计算：47 × 63 + 53 × 63

解答： 47 × 63 + 53 × 63 = (47 + 53) × 63（乘法分配律逆用） = 100 × 63 = 6300

例题5： 用简便方法计算：528 - 167 - 133

解答： 528 - 167 - 133 = 528 - (167 + 133)（减法性质） = 528 - 300 = 228

2.4 练习题

1. 用简便方法计算：45 + 78 + 55
2. 用简便方法计算：25 × 17 × 4
3. 用简便方法计算：102 × 45
4. 用简便方法计算：38 × 29 + 62 × 29
5. 用简便方法计算：432 - 156 - 144
6. 用简便方法计算：800 ÷ 25 ÷ 4
7. 用简便方法计算：99 × 78 + 78
8. 用简便方法计算：125 × 32
9. 用简便方法计算：67 × 101
10. 用简便方法计算：720 ÷ 45

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第三章 小数的意义和性质

3.1 核心概念

小数是数学中非常重要的数的概念。当一个数量不能用整数精确表示时，就需要用到小数。四年级下册要理解小数的意义、学会小数的读写、掌握小数的基本性质。

关键要点：

• 理解小数的意义
• 掌握小数的读法和写法
• 理解小数的基本性质
• 掌握小数的大小比较
• 学会小数点移动引起小数大小变化的规律

3.2 详细讲解

一、小数的意义

把一个整体平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份可以用小数来表示。

• 平均分成10份，取1份就是0.1（十分之一）
• 平均分成100份，取1份就是0.01（百分之一）
• 平均分成1000份，取1份就是0.001（千分之一）

示例： 把1米平均分成10份，每份是0.1米；分成100份，每份是0.01米。

二、小数的数位和计数单位

数位	...	个位	十分位	百分位	千分位	...
计数单位	...	一(个)	0.1	0.01	0.001	...

三、小数的读法和写法

读法： 整数部分按照整数的读法来读，小数点读作"点"，小数部分依次读出每一位上的数字。

示例：

• 3.14 读作：三点一四
• 0.56 读作：零点五六
• 12.08 读作：十二点零八

写法： 整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出每一位上的数字。

四、小数的基本性质

小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变。

示例：

• 0.5 = 0.50 = 0.500
• 3.20 = 3.2
• 10.050 = 10.05

五、小数的大小比较

比较两个小数的大小：

1. 先比较整数部分，整数部分大的那个数大
2. 整数部分相同，比较十分位，十分位大的那个数大
3. 十分位相同，比较百分位，百分位大的那个数大
4. 以此类推

示例： 比较 3.14 和 3.2 的大小 整数部分都是3，相同；比较十分位：1 < 2，所以 3.14 < 3.2

六、小数点移动引起小数大小的变化

• 小数点向右移动一位，小数就扩大到原来的10倍
• 小数点向右移动两位，小数就扩大到原来的100倍
• 小数点向右移动三位，小数就扩大到原来的1000倍
• 小数点向左移动一位，小数就缩小到原来的1/10
• 小数点向左移动两位，小数就缩小到原来的1/100

示例：

• 0.5 小数点向右移动一位变成 5（扩大10倍）
• 3.6 小数点向左移动两位变成 0.036（缩小到1/100）

3.3 典型例题

例题1： 0.75表示什么？

解答： 0.75表示把一个整体平均分成100份，取其中的75份。也可以理解为75个0.01，即75/100。

例题2： 比较大小：0.8 ○ 0.08

解答： 整数部分都是0，比较十分位：8 > 0，所以 0.8 > 0.08。

例题3： 把0.600化简。

解答： 根据小数的基本性质，去掉小数末尾的0，0.600 = 0.6。

例题4： 把3.5的小数点向右移动两位，得到的数是原数的多少倍？

解答： 小数点向右移动两位，3.5变成350。350 ÷ 3.5 = 100，所以是原数的100倍。

例题5： 在括号里填上合适的小数。

3元5角 = （ ）元

解答： 5角 = 0.5元，所以3元5角 = 3.5元。

3.4 练习题

1. 0.36表示（ ）个0.01。
2. 读出下面的小数：5.08
3. 写出下面的小数：七点零零三
4. 比较大小：2.35 ○ 2.53
5. 比较大小：0.70 ○ 0.7
6. 把0.450化简。
7. 把0.8改写成以百分之一为单位的小数。
8. 3.6的小数点向左移动一位是（ ）。
9. 0.05的小数点向右移动两位是（ ）。
10. 4米6厘米 = （ ）米。

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第四章 小数的加法和减法

4.1 核心概念

小数加减法是在整数加减法的基础上学习的，关键是小数点对齐。

关键要点：

• 掌握小数加法的计算方法
• 掌握小数减法的计算方法
• 理解小数点对齐的道理
• 能够进行小数加减法的简便计算
• 能够用小数加减法解决实际问题

4.2 详细讲解

一、小数加法

计算法则： 把小数点对齐（也就是相同数位对齐），从最低位算起，满十进一。

示例： 3.25 + 1.48 = 4.73

  3.25
+ 1.48
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  4.73

为什么小数点要对齐？ 因为小数点对齐后，相同数位上的数才能相加减。个位和个位对齐，十分位和十分位对齐，百分位和百分位对齐。

二、小数减法

计算法则： 把小数点对齐，从最低位算起，不够减时向前一位借1当10。

示例： 5.32 - 2.78 = 2.54

  5.32
- 2.78
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  2.54

三、小数加减法的注意事项

1. 小数点一定要对齐
2. 结果的小数点也要对齐
3. 结果的小数末尾有0时，一般要化简（去掉末尾的0）
4. 整数和小数相加减时，整数的小数点在个位右下角

四、小数加减法的简便计算

整数加减法的运算定律同样适用于小数加减法。

示例（加法交换律和结合律）： 3.6 + 2.8 + 6.4 = (3.6 + 6.4) + 2.8 = 10 + 2.8 = 12.8

示例（减法性质）： 15.3 - 4.7 - 5.3 = 15.3 - (4.7 + 5.3) = 15.3 - 10 = 5.3

4.3 典型例题

例题1： 计算 4.56 + 3.78

解答：

  4.56
+ 3.78
------
  8.34

例题2： 计算 10 - 3.45

解答：

 10.00
- 3.45
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  6.55

注意：10可以写成10.00，这样对齐小数点方便计算。

例题3： 用简便方法计算：7.8 + 3.5 + 2.2 + 6.5

解答： 7.8 + 3.5 + 2.2 + 6.5 = (7.8 + 2.2) + (3.5 + 6.5) = 10 + 10 = 20

例题4： 一支钢笔8.5元，一本笔记本3.8元。买一支钢笔和一本笔记本一共需要多少钱？

解答： 8.5 + 3.8 = 12.3（元） 答：买一支钢笔和一本笔记本一共需要12.3元。

例题5： 小明身高1.45米，爸爸身高1.78米，爸爸比小明高多少米？

解答： 1.78 - 1.45 = 0.33（米） 答：爸爸比小明高0.33米。

4.4 练习题

1. 计算：5.3 + 2.8 = ？
2. 计算：12.6 - 7.9 = ？
3. 计算：3.25 + 6.75 = ？
4. 计算：10 - 4.56 = ？
5. 用简便方法计算：4.8 + 5.3 + 5.2
6. 用简便方法计算：13.5 - 2.7 - 3.3
7. 一本练习本2.5元，一支铅笔1.2元，一共多少钱？
8. 一根绳子长10米，用去了3.75米，还剩多少米？
9. 小红有15.5元，买文具花了8.8元，还剩多少钱？
10. 计算：0.65 + 1.8 + 3.35 - 0.8

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第五章 三角形

5.1 核心概念

三角形是最基本的平面图形之一。四年级下册要系统学习三角形的特征、分类、内角和等知识。

关键要点：

• 认识三角形的各部分名称
• 理解三角形的特性（稳定性）
• 掌握三角形的分类
• 理解三角形的内角和是180°
• 学会画三角形的高

5.2 详细讲解

一、三角形的定义

由三条线段围成的图形叫做三角形。三角形有三条边、三个角、三个顶点。

二、三角形的特性——稳定性

三角形具有稳定性，不容易变形。这在生活中有很多应用：

• 自行车的车架是三角形结构
• 电线杆的支架是三角形
• 房屋的屋顶桁架是三角形

三、三角形的分类

按角分类：

• 锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）
• 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）
• 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°）

按边分类：

• 等边三角形：三条边都相等，三个角都是60°
• 等腰三角形：两条边相等，两个底角相等
• 不等边三角形：三条边都不相等

四、三角形的内角和

重要定理：三角形三个内角的度数之和等于180°。

无论什么形状的三角形，三个角加起来都是180°。

应用： 知道两个角的度数，就能求出第三个角。

示例：一个三角形中，∠1 = 50°，∠2 = 70°，求∠3。 ∠3 = 180° - 50° - 70° = 60°

五、三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。

每个三角形都有三条高。直角三角形的两条直角边互为底和高。

5.3 典型例题

例题1： 判断下面的图形是不是三角形。

• 三条线段围成的封闭图形 → 是三角形
• 四条线段围成的图形 → 不是三角形（是四边形）
• 三条线段没有围成封闭图形 → 不是三角形

例题2： 一个三角形，∠1 = 90°，∠2 = 35°，求∠3。

解答： ∠3 = 180° - 90° - 35° = 55°

例题3： 一个等腰三角形的顶角是100°，求底角。

解答： 两个底角相等。 底角 = (180° - 100°) ÷ 2 = 80° ÷ 2 = 40°

例题4： 判断：有一个角是锐角的三角形一定是锐角三角形。

解答： 错误。直角三角形和钝角三角形也有锐角。锐角三角形必须三个角都是锐角。

例题5： 等边三角形的一个角是多少度？

解答： 等边三角形三个角相等。180° ÷ 3 = 60°，所以每个角都是60°。

5.4 练习题

1. 三角形有（ ）条边，（ ）个角，（ ）个顶点。
2. 三角形的内角和是（ ）度。
3. 一个三角形中，∠1 = 60°，∠2 = 80°，∠3 = （ ）。
4. 一个等腰三角形的底角是50°，顶角是（ ）。
5. 等边三角形的每个角都是（ ）度。
6. 有一个角是90°的三角形是（ ）三角形。
7. 有一个角是120°的三角形是（ ）三角形。
8. 三角形为什么具有稳定性？
9. 一个直角三角形中，一个锐角是45°，另一个锐角是多少度？
10. 判断：所有的等腰三角形都是锐角三角形。（ ）

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第六章 图形的运动

6.1 核心概念

图形的运动主要包括轴对称和平移两种。通过学习图形的运动，可以更好地认识图形的特征，培养空间想象力。

关键要点：

• 理解轴对称图形的特征
• 学会在方格纸上补全轴对称图形
• 理解平移的概念
• 学会在方格纸上画出平移后的图形

6.2 详细讲解

一、轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。

这条直线叫做对称轴。

常见的轴对称图形：

• 正方形（4条对称轴）
• 长方形（2条对称轴）
• 等腰三角形（1条对称轴）
• 等边三角形（3条对称轴）
• 圆（无数条对称轴）

轴对称图形的特点：

1. 对称轴两侧的形状相同
2. 对应点到对称轴的距离相等
3. 对应点的连线与对称轴垂直

二、在方格纸上补全轴对称图形

方法：

1. 找到已知图形上的关键点
2. 数出每个关键点到对称轴的距离
3. 在对称轴的另一侧找到对应的点
4. 把这些点按顺序连接起来

三、平移

物体或图形沿某一方向做直线运动，这种运动叫做平移。

平移的特点：

1. 形状不变
2. 大小不变
3. 方向不变
4. 位置改变

在方格纸上画平移图形的方法：

1. 找到图形上的关键点
2. 把每个关键点按要求的方向和距离移动
3. 把移动后的点按顺序连接起来

6.3 典型例题

例题1： 下面哪些是轴对称图形？

• 正方形 → 是
• 平行四边形 → 不是（一般情况）
• 等腰梯形 → 是
• 圆 → 是

例题2： 正方形有几条对称轴？

解答： 正方形有4条对称轴：两条对角线和两条对边中点的连线。

例题3： 在方格纸上，把三角形向右平移5格。

解答：

1. 找到三角形的三个顶点
2. 把每个顶点向右数5格，标出新位置
3. 把三个新顶点连接起来

例题4： 一个图形平移后，什么变了？什么没变？

解答： 平移后，图形的位置变了，但形状、大小和方向都没有变。

6.4 练习题

1. 正方形有（ ）条对称轴。
2. 长方形有（ ）条对称轴。
3. 等边三角形有（ ）条对称轴。
4. 圆有（ ）条对称轴。
5. 平行四边形是轴对称图形吗？
6. 在方格纸上画出一个轴对称图形的另一半。
7. 把一个三角形向上平移3格，画出平移后的图形。
8. 平移后，图形的（ ）变了，（ ）没变。
9. 生活中哪些物体是轴对称的？举出3个例子。
10. "A""B""C"三个字母中，哪个是轴对称图形？

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综合练习题

1. 计算：45 + 18 × 3 - 60 ÷ 5
2. 用简便方法计算：125 × 25 × 32
3. 用简便方法计算：67 × 99 + 67
4. 3.14的十分位是（ ），百分位是（ ）。
5. 比较大小：0.68 ○ 0.86
6. 计算：5.06 + 3.8 = ？
7. 计算：12 - 4.75 = ？
8. 一个三角形，∠1 = 45°，∠2 = 65°，∠3 = （ ）。
9. 等腰三角形的一个底角是65°，顶角是（ ）。
10. 把2.5的小数点向右移动两位是（ ），是原数的（ ）倍。
11. 一个等边三角形的周长是24厘米，每条边长（ ）厘米。
12. 判断：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。（ ）
13. 正方形有（ ）条对称轴，是（ ）图形。
14. 小明买了一本12.5元的书和一支3.8元的笔，付了20元，找回多少钱？
15. 用简便方法计算：4.7 + 8.5 + 5.3 + 1.5

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学习方法建议

一、计算能力的提升

1. 每天坚持练习：每天做10-15道计算题，保持手感。
2. 重视验算：做完计算题后养成验算的习惯。
3. 掌握简便方法：学会用运算定律简化计算，提高速度和准确率。
4. 注意小数点：小数加减法最容易出错的地方就是小数点对齐。

二、概念理解的方法

1. 画图辅助：学习三角形等几何时，多画图、多动手。
2. 联系生活：把数学概念和生活中的实际例子联系起来。
3. 举一反三：学会一个知识点后，尝试变化条件再思考。
4. 总结归纳：学完一个单元后，整理知识框架。

三、解题习惯的培养

1. 认真读题：读题至少两遍，圈出关键词。
2. 规范书写：算式写整齐，等号对齐，过程清楚。
3. 检查答案：做完后检查计算是否正确，答案是否合理。
4. 分析错题：把做错的题记下来，分析错在哪里，定期复习。

四、几何学习的建议

1. 动手操作：用纸折一折、剪一剪，感受轴对称。
2. 观察生活：在生活中找三角形、对称图形的例子。
3. 画图练习：在方格纸上多练习画图，培养空间感。
4. 分类讨论：学习三角形分类时，注意按不同标准分类。

五、家长配合建议

1. 购物中学习：买东西时让孩子计算价格、找零。
2. 游戏中练习：玩扑克牌算24点，练习四则运算。
3. 鼓励动手：让孩子用纸折图形、画图形。
4. 耐心辅导：孩子做错时不要急躁，帮助分析原因。

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总结

四年级下册数学的核心内容可以概括为：

1. 四则混合运算：掌握"先乘除后加减、有括号先算括号"的运算顺序。
2. 运算定律：掌握加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，并能灵活运用进行简便计算。
3. 小数的意义和性质：理解小数的意义，掌握小数的基本性质，学会小数的大小比较。
4. 小数加减法：掌握小数加减法的计算方法，关键是小数点对齐。
5. 三角形：认识三角形的特征、分类，掌握内角和定理。
6. 图形的运动：理解轴对称和平移的概念。

数学学习需要循序渐进、持之以恒。只要认真听讲、勤于练习、善于思考，每个同学都能学好数学！

加油吧，未来的数学家们！📐✨