八年级数学上册教程——三角形与整式乘除

前言

同学们好！本教程专为八年级上学期的数学学习编写，适合正在学习或即将学习八年级上册数学的同学和家长阅读参考。

八年级上册数学是一个承上启下的关键阶段。在代数方面，我们将学习整式的乘法与因式分解以及分式；在几何方面，我们将深入研究三角形的性质、全等三角形和轴对称。这些内容在中考中占有重要分值，也是后续学习的基础。

本教程将从基础概念出发，结合典型例题和大量练习，帮助同学们系统掌握这些核心知识。每个知识点都配有详细讲解和解题技巧，力求让同学们不仅"会做题"，更能"理解题"。

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第一章 三角形的基本性质

1.1 核心概念

三角形是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。三角形是最基本的多边形，也是几何学习的重要基础。

三角形的基本要素：

• 顶点：三角形有三个顶点，通常用大写字母表示，如△ABC
• 边：三角形有三条边，分别记为AB、BC、CA
• 角：三角形有三个内角，分别记为∠A、∠B、∠C

三角形的分类：

按角分类：

• 锐角三角形：三个角都是锐角
• 直角三角形：有一个角是直角
• 钝角三角形：有一个角是钝角

按边分类：

• 不等边三角形：三条边都不相等
• 等腰三角形：有两条边相等
• 等边三角形：三条边都相等

1.2 详细讲解

一、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边。

推论：三角形任意两边之差小于第三边。

设三角形的三边分别为a、b、c，则：

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a
• |a - b| < c

应用： 判断三条线段能否组成三角形。

二、三角形的内角和

定理：三角形三个内角的和等于180°。

即：∠A + ∠B + ∠C = 180°

推论：

1. 直角三角形的两个锐角互余
2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
3. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

三、三角形的高、中线和角平分线

高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。

中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。

角平分线：三角形的一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。

1.3 典型例题

例题一： 判断下列各组线段能否组成三角形。 （1）3cm, 4cm, 5cm （2）2cm, 3cm, 6cm （3）5cm, 5cm, 11cm

解题过程： （1）因为3 + 4 = 7 > 5，3 + 5 = 8 > 4，4 + 5 = 9 > 3，满足三边关系，所以能组成三角形。

（2）因为2 + 3 = 5 < 6，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。

（3）因为5 + 5 = 10 < 11，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。

例题二： 在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。

解题过程： 根据三角形内角和定理： ∠A + ∠B + ∠C = 180° 50° + 60° + ∠C = 180° ∠C = 180° - 50° - 60° = 70°

例题三： 已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边的长是一个偶数，求第三边的长。

解题过程： 设第三边的长为c，根据三边关系： 7 - 3 < c < 7 + 3 4 < c < 10

因为c是偶数，所以c可以是6或8。

1.4 练习题

练习一： 判断下列各组线段能否组成三角形。 （1）1cm, 2cm, 3cm （2）4cm, 5cm, 8cm （3）6cm, 6cm, 6cm

练习二： 在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 50°，求∠C的度数。

练习三： 一个三角形的两边长分别为5和9，第三边的长是一个奇数，求第三边的可能值。

练习四： 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长。

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第二章 全等三角形

2.1 核心概念

全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。

全等的表示方法：△ABC ≌ △DEF

全等三角形的性质：

1. 对应边相等
2. 对应角相等
3. 对应边上的中线相等
4. 对应角的平分线相等
5. 对应边上的高相等
6. 周长相等、面积相等

2.2 详细讲解

一、全等三角形的判定方法

1. 边边边（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等。

2. 边角边（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 注意：必须是两边的夹角，不能是两边及一边的对角。

3. 角边角（ASA） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

4. 角角边（AAS） 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

5. 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

二、证明全等三角形的步骤

第一步：找对应关系 确定哪两个三角形需要证明全等，找出它们的对应顶点、对应边和对应角。

第二步：找已知条件 从题目中找出关于这两个三角形的已知条件（边相等、角相等）。

第三步：选择判定方法 根据已知条件，选择合适的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。

第四步：补充条件 如果已知条件不足，通过添加辅助线或利用其他定理来补充条件。

第五步：写出证明过程 按照规范的格式写出证明过程。

三、常见的证明思路

1. 利用公共边：两个三角形共用的边相等
2. 利用公共角：两个三角形共用的角相等
3. 利用对顶角：对顶角相等
4. 利用平行线：两直线平行，同位角相等、内错角相等
5. 利用中点：中点平分线段
6. 利用垂直：垂直得到直角

2.3 典型例题

例题一： 如图，已知AB = AD，∠BAC = ∠DAC，求证：△ABC ≌ △ADC。

证明： 在△ABC和△ADC中：

• AB = AD（已知）
• ∠BAC = ∠DAC（已知）
• AC = AC（公共边）

∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）

例题二： 如图，已知AB∥CD，AB = CD，求证：△ABO ≌ △CDO。

证明： ∵ AB∥CD ∴ ∠A = ∠C，∠B = ∠D（两直线平行，内错角相等）

在△ABO和△CDO中：

• ∠A = ∠C（已证）
• AB = CD（已知）
• ∠B = ∠D（已证）

∴ △ABO ≌ △CDO（ASA）

例题三： 如图，已知AD是△ABC的中线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：BE = CF。

证明： ∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD = CD

∵ BE⊥AD，CF⊥AD ∴ ∠BED = ∠CFD = 90°

在△BDE和△CDF中：

• ∠BED = ∠CFD = 90°（已证）
• ∠BDE = ∠CDF（对顶角相等）
• BD = CD（已证）

∴ △BDE ≌ △CDF（AAS） ∴ BE = CF

2.4 练习题

练习一： 如图，已知AC = BD，∠A = ∠D = 90°，求证：△ABC ≌ △DCB。

练习二： 如图，已知AB = CD，∠ABC = ∠DCB，求证：△ABC ≌ △DCB。

练习三： 如图，已知E是BC的中点，∠AEB = ∠DEC，AE = DE，求证：△ABE ≌ △DCE。

练习四： 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，求证：△ACD ≌ △AED。

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第三章 轴对称

3.1 核心概念

轴对称是指把一个图形沿着某一条直线翻折后，能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。

轴对称图形是指一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。

轴对称的性质：

1. 对应点的连线被对称轴垂直平分
2. 对应线段相等
3. 对应角相等

3.2 详细讲解

一、线段的垂直平分线

定义： 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。

性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、等腰三角形

性质：

1. 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线

判定：

1. 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

三、等边三角形

性质：

1. 三条边都相等
2. 三个角都等于60°
3. 是轴对称图形，有三条对称轴

判定：

1. 三条边都相等的三角形是等边三角形
2. 三个角都等于60°的三角形是等边三角形
3. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

3.3 典型例题

例题一： 在△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，求∠B的度数。

解题过程： ∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠C（等边对等角）

∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180° ∴ 40° + 2∠B = 180° ∴ ∠B = 70°

例题二： 如图，AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，AB = 10，BD = 6，求AD的长。

解题过程： ∵ AB = AC，AD⊥BC ∴ BD = CD = 6（三线合一） ∴ BC = 12

在Rt△ABD中： AD² + BD² = AB² AD² + 6² = 10² AD² = 100 - 36 = 64 AD = 8

例题三： 如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。

解题过程： ∵ △ABC是等边三角形 ∴ ∠ABC = 60°，AB = BC

∵ BD是AC边上的高 ∴ BD平分∠ABC（三线合一） ∴ ∠DBC = ∠ABC/2 = 30°

3.4 练习题

练习一： 在△ABC中，AB = AC，∠B = 65°，求∠A的度数。

练习二： 等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长。

练习三： 如图，在△ABC中，AB = AC，BD平分∠ABC交AC于D，∠A = 36°，求∠BDC的度数。

练习四： 如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，求证：△BDE是等边三角形。

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第四章 整式的乘法

4.1 核心概念

整式的乘法是代数运算的重要基础。本章重点学习同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及单项式与多项式的乘法。

4.2 详细讲解

一、同底数幂的乘法

法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

公式：\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)（m、n为正整数）

示例：

• \(x^3 \times x^5 = x^{3+5} = x^8\)
• \(2^2 \times 2^4 = 2^{2+4} = 2^6\)
• \(a^2 \times a^3 \times a = a^{2+3+1} = a^6\)

二、幂的乘方

法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

公式：\((a^m)^n = a^{mn}\)（m、n为正整数）

示例：

• \((x^3)^2 = x^{3 \times 2} = x^6\)
• \((2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}\)
• \((a^2)^3 = a^{2 \times 3} = a^6\)

三、积的乘方

法则： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

公式：\((ab)^n = a^n b^n\)（n为正整数）

示例：

• \((2x)^3 = 2^3 \times x^3 = 8x^3\)
• \((3a^2b)^2 = 3^2 \times (a^2)^2 \times b^2 = 9a^4b^2\)

四、单项式乘单项式

法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

示例：

• \(3x^2 \times 4x^3 = 12x^5\)
• \(2a^2b \times 3ab^3 = 6a^3b^4\)

五、单项式乘多项式

法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式：\(m(a+b+c) = ma + mb + mc\)

示例：

• \(2x(3x^2 + 4x - 5) = 6x^3 + 8x^2 - 10x\)

六、多项式乘多项式

法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式：\((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\)

示例：

• \((x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)
• \((2x-1)(x+4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\)

七、乘法公式

1. 平方差公式： \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

2. 完全平方公式：

• \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

4.3 典型例题

例题一： 计算下列各题。 （1）\(x^4 \times x^6\) （2）\((a^3)^4\) （3）\((2x^2y)^3\)

解题过程： （1）\(x^4 \times x^6 = x^{4+6} = x^{10}\) （2）\((a^3)^4 = a^{3 \times 4} = a^{12}\) （3）\((2x^2y)^3 = 2^3 \times (x^2)^3 \times y^3 = 8x^6y^3\)

例题二： 用乘法公式计算。 （1）\((x+5)(x-5)\) （2）\((3x+2y)^2\) （3）\((2a-b)^2\)

解题过程： （1）\((x+5)(x-5) = x^2 - 25\)（平方差公式） （2）\((3x+2y)^2 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2\) （3）\((2a-b)^2 = (2a)^2 - 2 \times 2a \times b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2\)

例题三： 化简求值：\((x+2)(x-2) - x(x-1)\)，其中 \(x = 3\)。

解题过程： 原式 \(= x^2 - 4 - x^2 + x\) \(= x - 4\)

当 \(x = 3\) 时： 原式 \(= 3 - 4 = -1\)

4.4 练习题

练习一： 计算下列各题。 （1）\(a^5 \times a^7\) （2）\((x^4)^3\) （3）\((3ab^2)^2\)

练习二： 用乘法公式计算。 （1）\((x+7)(x-7)\) （2）\((4x-3y)^2\) （3）\((2m+3n)(2m-3n)\)

练习三： 计算下列各题。 （1）\(3x(2x^2 - x + 4)\) （2）\((x+3)(x^2 - 2x + 1)\)

练习四： 化简求值：\((2x+1)(2x-1) - 4x(x-1)\)，其中 \(x = -2\)。

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第五章 因式分解

5.1 核心概念

因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式。因式分解是整式乘法的逆运算。

因式分解的基本方法：

1. 提公因式法
2. 运用公式法
3. 分组分解法
4. 十字相乘法

5.2 详细讲解

一、提公因式法

步骤：

1. 找出各项的公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂）
2. 用公因式去除多项式的每一项，得到另一个因式
3. 写成公因式与另一个因式的乘积

示例：

• \(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\)
• \(4a^2b - 8ab^2 = 4ab(a - 2b)\)
• \(x^3 - x^2 = x^2(x - 1)\)

二、运用公式法

1. 平方差公式： \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)

示例：

• \(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)\)
• \(4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x+5)(2x-5)\)
• \(a^2 - b^2c^2 = (a+bc)(a-bc)\)

2. 完全平方公式：

• \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
• \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)

示例：

• \(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x+3)^2\)
• \(x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \times 5 \times x + 5^2 = (x-5)^2\)
• \(4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3y + (3y)^2 = (2x+3y)^2\)

三、分组分解法

当多项式不能直接用提公因式法或公式法时，可以尝试分组分解。

步骤：

1. 将多项式分成两组（或几组）
2. 分别对每组进行因式分解
3. 提取新的公因式

示例： \(ax + ay + bx + by\) \(= a(x+y) + b(x+y)\) \(= (x+y)(a+b)\)

\(3x^2 + 6x + x + 2\) \(= 3x(x+2) + 1(x+2)\) \(= (x+2)(3x+1)\)

四、十字相乘法

对于二次三项式 \(x^2 + (a+b)x + ab\)，可以分解为 \((x+a)(x+b)\)。

示例：

• \(x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)\)（因为2+3=5，2×3=6）
• \(x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)\)（因为-3+(-4)=-7，(-3)×(-4)=12）
• \(x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)\)（因为3+(-2)=1，3×(-2)=-6）

五、因式分解的一般步骤

1. 先提公因式：看各项是否有公因式
2. 再看项数：
   • 二项式：考虑平方差公式
   • 三项式：考虑完全平方公式或十字相乘法
   • 四项及以上：考虑分组分解法
3. 检查：分解到不能再分解为止

5.3 典型例题

例题一： 分解因式。 （1）\(12x^2y - 18xy^2\) （2）\(x^2 - 16\) （3）\(x^2 + 8x + 16\)

解题过程： （1）\(12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)\)

（2）\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4)\)

（3）\(x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \times 4 \times x + 4^2 = (x+4)^2\)

例题二： 分解因式。 （1）\(2x^2 - 8\) （2）\(x^3 - 4x^2 + 4x\)

解题过程： （1）\(2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)\) 注意：先提公因式2，再用平方差公式。

（2）\(x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x-2)^2\) 注意：先提公因式x，再用完全平方公式。

例题三： 分解因式。 （1）\(ax + ay + bx + by\) （2）\(x^2 - y^2 + x + y\)

解题过程： （1）\(ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)\)

（2）\(x^2 - y^2 + x + y = (x+y)(x-y) + (x+y) = (x+y)(x-y+1)\)

5.4 练习题

练习一： 用提公因式法分解因式。 （1）\(15a^2b - 10ab^2\) （2）\(x^3 - 3x^2\)

练习二： 用公式法分解因式。 （1）\(x^2 - 49\) （2）\(x^2 + 14x + 49\) （3）\(9x^2 - 24x + 16\)

练习三： 分解因式。 （1）\(2x^2 - 18\) （2）\(3x^3 - 12x^2 + 12x\)

练习四： 分解因式。 （1）\(am + an + bm + bn\) （2）\(x^2 - y^2 - x - y\)

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第六章 分式

6.1 核心概念

分式是指形如 \(\frac{A}{B}\) 的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式有意义的条件：分母不等于零。

分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。

6.2 详细讲解

一、分式的基本性质

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

公式：\(\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C} = \frac{A \div C}{B \div C}\)（C ≠ 0）

应用：

1. 约分：把分式的分子和分母的公因式约去
2. 通分：把几个异分母的分式化成同分母的分式

二、分式的运算

1. 分式的乘法： \(\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}\)

2. 分式的除法： \(\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}\)

3. 分式的加减法： 同分母：\(\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}\)

异分母：先通分，再加减。

4. 分式的乘方： \(\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}\)

三、分式方程

分式方程是分母中含有未知数的方程。

解分式方程的步骤：

1. 方程两边都乘以最简公分母，化成整式方程
2. 解这个整式方程
3. 验根：把求得的根代入最简公分母，如果不等于零，就是原方程的根；如果等于零，就是增根，应舍去

6.3 典型例题

例题一： 计算下列各题。 （1）\(\frac{x}{y} \times \frac{y^2}{x^2}\) （2）\(\frac{a^2 - 4}{a + 2} \div \frac{a - 2}{a + 1}\)

解题过程： （1）\(\frac{x}{y} \times \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy^2}{x^2y} = \frac{y}{x}\)

（2）\(\frac{a^2 - 4}{a + 2} \div \frac{a - 2}{a + 1} = \frac{(a+2)(a-2)}{a+2} \times \frac{a+1}{a-2} = a+1\)

例题二： 计算 \(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\)。

解题过程： 原式 \(= \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\) \(= \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}\) \(= \frac{2}{x^2-1}\)

例题三： 解分式方程 \(\frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1}\)。

解题过程： 方程两边都乘以 \((x-1)(x+1)\)： \(2(x+1) = 3(x-1)\) \(2x + 2 = 3x - 3\) \(x = 5\)

验根：当 \(x = 5\) 时，\((x-1)(x+1) = 4 \times 6 = 24 \neq 0\) ∴ \(x = 5\) 是原方程的根。

6.4 练习题

练习一： 计算下列各题。 （1）\(\frac{2a}{3b} \times \frac{9b^2}{4a^2}\) （2）\(\frac{x^2 - 1}{x + 1} \div \frac{x - 1}{x}\)

练习二： 计算下列各题。 （1）\(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}\) （2）\(\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}\)

练习三： 解下列分式方程。 （1）\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = 0\) （2）\(\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 1\)

练习四： 当 \(x\) 取何值时，分式 \(\frac{x-2}{x^2-4}\) 有意义？当 \(x\) 取何值时，分式的值为零？

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综合练习题

一、选择题

1. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）

   1. 1, 2, 3 B. 2, 3, 6 C. 3, 4, 5 D. 2, 2, 5

2. 在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 70°，则△ABC是（ ）

   1. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

3. 下列运算正确的是（ ）

   1. \(a^2 \times a^3 = a^6\) B. \((a^2)^3 = a^5\) C. \(a^2 + a^3 = a^5\) D. \(a^6 \div a^2 = a^4\)

4. 下列因式分解正确的是（ ）

   1. \(x^2 - 4 = (x-2)^2\) B. \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\)
   2. \(x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\) D. \(2x^2 - 8 = 2(x-2)^2\)

5. 若分式 \(\frac{x-1}{x+2}\) 的值为零，则 \(x\) 的值为（ ）

   1. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 不存在

二、填空题

6. 三角形的内角和等于______。

7. 在△ABC中，AB = AC，∠B = 70°，则∠A = ______。

8. 计算：$(x+3)(x-3) = $______。

9. 分解因式：$x^2 - 6x + 9 = $______。

10. 计算：$\frac{1} + \frac{1} = $______。

三、解答题

11. 如图，已知AB = AC，AD = AE，求证：△ABD ≌ △ACE。

12. 分解因式： （1）\(3x^2 - 12\) （2）\(x^3 - 2x^2 + x\)

13. 解分式方程：\(\frac{x}{x-2} - 1 = \frac{8}{x^2-4}\)

14. 化简求值：\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} \div \frac{x - 2}{x + 2}\)，其中 \(x = 3\)。

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学习方法建议

一、几何学习方面

1. 画图很重要：学习几何时，一定要自己动手画图。画图能帮助你直观地理解题意，找到解题思路。

2. 注意书写规范：几何证明题的书写要规范，每一步推理都要有依据。养成良好的书写习惯，考试时才能拿高分。

3. 积累基本图形：很多复杂的几何题都是由基本图形组合而成的。熟悉常见的基本图形，能帮助你快速找到解题方法。

4. 多做辅助线：添加辅助线是解决几何难题的重要手段。常见的辅助线有：连接两点、作平行线、作垂线、延长线段等。

二、代数学习方面

1. 理解公式：不要死记硬背公式，要理解公式的推导过程。理解了原理，才能灵活运用。

2. 注意运算顺序：整式运算和分式运算都要注意运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号。

3. 养成验算习惯：做完题后要养成验算的习惯，检查计算是否正确，结果是否合理。

4. 总结题型：把做过的题目按题型分类总结，找出每种题型的解题方法和注意事项。

三、综合学习方面

1. 制定学习计划：合理安排学习时间，每天保证一定的数学学习时间。

2. 及时复习：当天学过的内容当天复习，不要堆积到考试前。

3. 建立错题本：把做错的题目整理到错题本上，定期复习，避免再犯同样的错误。

4. 多问多思：遇到不懂的问题要及时向老师或同学请教，不要积累问题。

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中考考点提示

一、三角形部分

1. 三角形的三边关系：判断三条线段能否组成三角形，常以选择题形式出现。

2. 三角形的内角和：利用内角和定理求角度，常与平行线、角平分线结合考查。

3. 全等三角形的判定与性质：这是中考的重点和热点，常以解答题形式出现，要求写出完整的证明过程。

4. 等腰三角形的性质与判定：常与全等三角形结合考查。

二、整式乘除与因式分解部分

1. 幂的运算法则：常以选择题、填空题形式出现，考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方。

2. 乘法公式：平方差公式和完全平方公式的灵活运用是考查重点。

3. 因式分解：这是中考的必考内容，常以填空题或选择题形式出现。要熟练掌握提公因式法和公式法。

4. 整式的化简求值：常以解答题形式出现，要求先化简再代入求值。

三、分式部分

1. 分式有意义的条件：常以选择题形式出现。

2. 分式的化简求值：这是中考的热点，常以解答题形式出现。

3. 分式方程：解分式方程并验根是考查重点。

四、答题技巧

1. 选择题：可以用排除法、代入法等技巧快速解题。

2. 填空题：注意答案的完整性，不要漏解。

3. 解答题：书写要规范，步骤要完整，每一步推理都要有依据。

4. 证明题：注意证明的格式，要写清已知、求证、证明过程。

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总结

八年级上册数学的学习内容丰富而重要。通过本教程的学习，希望同学们能够：

1. 掌握三角形的基本性质，理解三边关系和内角和定理，能够运用全等三角形的判定方法进行几何证明。

2. 理解轴对称的性质，掌握等腰三角形和等边三角形的性质与判定。

3. 熟练进行整式的乘法运算，能够灵活运用乘法公式简化计算。

4. 掌握因式分解的基本方法，能够正确地将多项式分解因式。

5. 理解分式的概念和运算，能够解简单的分式方程。

数学学习需要勤学苦练，更需要善于思考和总结。希望同学们在学习过程中，不仅要"学会"，更要"会学"。掌握了正确的学习方法，数学学习就会变得轻松而有趣！

祝同学们学习进步，在数学的海洋中乘风破浪！