九年级数学上册教程——二次函数与圆

适用年级：九年级上册 | 科目：数学 本教程系统讲解九年级上册数学核心内容，涵盖一元二次方程、二次函数的图像与性质、圆的相关性质、概率初步等，帮助学生掌握中考核心考点。

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第一章 一元二次方程

1.1 一元二次方程的概念

我们已经学过一元一次方程，比如 \(2x + 3 = 0\)。现在我们要学习一种更"高级"的方程——一元二次方程。

什么是一元二次方程？

一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。它的一般形式为：

\(ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)\)

其中：

• \(a\) 是二次项系数（不能为0，否则就不是二次方程了）
• \(b\) 是一次项系数
• \(c\) 是常数项

举例说明：

方程	是否为一元二次方程	原因
\(2x^2 + 3x - 1 = 0\)	✅ 是	符合一般形式，\(a=2 \neq 0\)
\(x^2 = 5\)	✅ 是	可化为 \(x^2 - 5 = 0\)，\(a=1, b=0, c=-5\)
\(x^2 + 2y = 1\)	❌ 不是	含有两个未知数 \(x\) 和 \(y\)
\(3x + 5 = 0\)	❌ 不是	最高次数为1，是一元一次方程
\(x^3 - x = 0\)	❌ 不是	最高次数为3，是一元三次方程

1.2 一元二次方程的解法

解一元二次方程有多种方法，我们逐一学习。

1.2.1 直接开平方法

如果方程能化为 \(x^2 = p\)（\(p \geq 0\)）的形式，那么直接开平方就能得到：

\(x = \pm\sqrt{p}\)

例题1： 解方程 \(x^2 = 16\)

解： 对等式两边开平方，得

\(x = \pm\sqrt{16} = \pm 4\)

所以方程的解为 \(x_1 = 4\)，\(x_2 = -4\)。

例题2： 解方程 \((x - 3)^2 = 25\)

解： 对等式两边开平方，得

\(x - 3 = \pm 5\)

当 \(x - 3 = 5\) 时，\(x = 8\)

当 \(x - 3 = -5\) 时，\(x = -2\)

所以方程的解为 \(x_1 = 8\)，\(x_2 = -2\)。

1.2.2 配方法

配方法的核心思想是把方程左边配成一个完全平方式。具体步骤如下：

1. 把方程化为 \(x^2 + bx = -c\) 的形式（把常数项移到等号右边）
2. 在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上 \((\frac{b}{2})^2\)
3. 把左边写成 \((x + \frac{b}{2})^2\) 的形式
4. 用直接开平方法求解

例题3： 用配方法解方程 \(x^2 + 6x + 5 = 0\)

解：

第一步：移项，得 \(x^2 + 6x = -5\)

第二步：配方，在等号两边同时加上 \((\frac{6}{2})^2 = 9\)

\(x^2 + 6x + 9 = -5 + 9\)

第三步：整理，得 \((x + 3)^2 = 4\)

第四步：开平方，得 \(x + 3 = \pm 2\)

所以 \(x_1 = -1\)，\(x_2 = -5\)。

1.2.3 公式法

对一般形式 \(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），通过配方可以推导出求根公式：

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

使用公式的前提是先计算判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\)：

判别式的情况	方程的根
\(\Delta > 0\)	方程有两个不相等的实数根
\(\Delta = 0\)	方程有两个相等的实数根（即一个实数根）
\(\Delta < 0\)	方程没有实数根（在实数范围内无解）

例题4： 用公式法解方程 \(2x^2 - 5x + 1 = 0\)

解： 这里 \(a = 2\)，\(b = -5\)，\(c = 1\)

\(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 25 - 8 = 17 > 0\)

所以方程有两个不相等的实数根：

\(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}\)

即 \(x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}\)，\(x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}\)。

1.2.4 因式分解法

如果一元二次方程的左边能分解成两个一次因式的乘积，即：

\((x - x_1)(x - x_2) = 0\)

那么根据"两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式等于0"，可得 \(x - x_1 = 0\) 或 \(x - x_2 = 0\)，从而 \(x = x_1\) 或 \(x = x_2\)。

例题5： 解方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

解： 将左边因式分解

\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\)

所以 \(x - 2 = 0\) 或 \(x - 3 = 0\)

解得 \(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)。

例题6： 解方程 \(3x^2 + x - 2 = 0\)

解： 将左边因式分解

\(3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1) = 0\)

所以 \(3x - 2 = 0\) 或 \(x + 1 = 0\)

解得 \(x_1 = \frac{2}{3}\)，\(x_2 = -1\)。

1.3 一元二次方程的应用

一元二次方程在实际问题中应用广泛，常见题型包括面积问题、增长率问题、数字问题等。

例题7（面积问题）： 一块长方形花坛的长比宽多4米，面积为60平方米。求花坛的长和宽。

解： 设花坛的宽为 \(x\) 米，则长为 \((x + 4)\) 米。

根据题意：\(x(x + 4) = 60\)

整理得：\(x^2 + 4x - 60 = 0\)

因式分解：\((x + 10)(x - 6) = 0\)

解得 \(x = -10\)（不合题意，舍去）或 \(x = 6\)

所以花坛的宽为6米，长为10米。

例题8（增长率问题）： 某工厂去年的产值为200万元，计划在两年内使产值增长到242万元。求年平均增长率。

解： 设年平均增长率为 \(x\)。

则第一年产值为 \(200(1 + x)\) 万元，第二年产值为 \(200(1 + x)^2\) 万元。

根据题意：\(200(1 + x)^2 = 242\)

化简：\((1 + x)^2 = 1.21\)

开平方：\(1 + x = \pm 1.1\)

所以 \(x = 0.1 = 10\%\)（负值舍去）

答：年平均增长率为10%。

1.4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

如果一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）的两个根为 \(x_1\)、\(x_2\)，那么：

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}，\quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

这个关系非常重要，常用来：

• 已知方程求两根之和与两根之积
• 已知两根求方程
• 求关于两根的对称式的值

例题9： 已知方程 \(x^2 - 3x + 1 = 0\) 的两个根为 \(x_1\)、\(x_2\)，不解方程，求 \(x_1^2 + x_2^2\) 的值。

解： 由韦达定理，\(x_1 + x_2 = 3\)，\(x_1 \cdot x_2 = 1\)

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 3^2 - 2 \times 1 = 9 - 2 = 7\)

📌 第一章知识点总结

知识点	核心内容
一元二次方程的定义	\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），只含一个未知数，最高次数为2
直接开平方法	适用于 \(x^2 = p\)（\(p \geq 0\)）形式
配方法	将方程左边化为完全平方式，再开平方
公式法	\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，适用于所有一元二次方程
因式分解法	将左边分解为两个一次因式的乘积
判别式 \(\Delta\)	\(\Delta > 0\) 有两个不等实根；\(\Delta = 0\) 有两个相等实根；\(\Delta < 0\) 无实数根
韦达定理	\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

📝 第一章练习题

一、选择题

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　）

   • 1. \(x^2 + 2y = 1\)
   • 2. \(\frac{1}{x} + x = 3\)
   • 3. \(3x^2 - 2x + 5 = 0\)
   • 4. \(x + 3 = 0\)

2. 方程 \(x^2 = 9\) 的解是（　）

   • 1. \(x = 3\)
   • 2. \(x = -3\)
   • 3. \(x = \pm 3\)
   • 4. 无解

3. 一元二次方程 \(2x^2 + 3x - 1 = 0\) 的判别式 \(\Delta\) 的值为（　）

   • 1. 1
   • 2. 17
   • 3. 25
   • 4. 5

二、填空题

4. 方程 \(x^2 - 4x + 3 = 0\) 的两个根分别为 ______ 和 ______。

5. 若方程 \(x^2 + kx + 9 = 0\) 有两个相等的实数根，则 \(k\) 的值为 ______。

6. 已知方程 \(x^2 - 5x + m = 0\) 的一个根为 \(x = 1\)，则 $m = $ ______，另一个根为 ______。

三、解答题

7. 用配方法解方程：\(x^2 - 8x + 12 = 0\)

8. 用公式法解方程：\(3x^2 + 2x - 2 = 0\)

9. 某商店购进一批商品，每件进价为20元。如果每件商品售价定为30元，每天可售出100件。经调查发现，每件商品每降价1元，每天可多售出10件。要想每天盈利1200元，每件商品应定价多少元？

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第二章 二次函数的图像与性质

2.1 二次函数的概念

什么是二次函数？

一般地，形如

\(y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)\)

的函数叫做二次函数，其中 \(x\) 是自变量，\(y\) 是因变量，\(a\)、\(b\)、\(c\) 是常数，且 \(a \neq 0\)。

二次函数和一元二次方程有什么联系呢？当我们令 \(y = 0\) 时，\(ax^2 + bx + c = 0\) 就是一元二次方程了！所以二次函数可以看成是一元二次方程的"升级版"。

2.2 二次函数的图像——抛物线

二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像是一条抛物线。

抛物线的基本特征：

• 开口方向：当 \(a > 0\) 时，抛物线开口向上（像碗口朝上）；当 \(a < 0\) 时，抛物线开口向下（像碗口朝下）。
• 对称轴：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 \(x = -\frac{b}{2a}\)。
• 顶点：抛物线的顶点坐标为 \((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)，这是抛物线的最高点或最低点。

2.3 二次函数的三种表示形式

（1）一般式：\(y = ax^2 + bx + c\)

从一般式可以直接看出：

• \(a\) 的正负决定开口方向
• \(c\) 是抛物线与 \(y\) 轴的交点纵坐标（因为当 \(x = 0\) 时，\(y = c\)）

（2）顶点式：\(y = a(x - h)^2 + k\)

其中 \((h, k)\) 就是顶点坐标。从顶点式可以直接读出顶点位置和对称轴 \(x = h\)。

（3）交点式：\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)

其中 \(x_1\)、\(x_2\) 是抛物线与 \(x\) 轴的两个交点的横坐标（即方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的两个根）。

注意： 交点式只有在抛物线与 \(x\) 轴有两个交点（即 \(\Delta > 0\)）时才能使用。

2.4 二次函数的图像与性质

我们以 \(y = a(x - h)^2 + k\) 为例，详细分析抛物线的性质：

性质	\(a > 0\)（开口向上）	\(a < 0\)（开口向下）
开口方向	向上	向下
对称轴	\(x = h\)	\(x = h\)
顶点	\((h, k)\)	\((h, k)\)
顶点特征	最低点（最小值为 \(k\)）	最高点（最大值为 \(k\)）
增减性	\(x < h\) 时递减；\(x > h\) 时递增	\(x < h\) 时递增；\(x > h\) 时递减

特别地，对于最简单的二次函数 \(y = ax^2\)：

• 顶点在原点 \((0, 0)\)
• 对称轴为 \(y\) 轴（即 \(x = 0\)）
• \(|a|\) 越大，抛物线开口越小（越"窄"）；\(|a|\) 越小，抛物线开口越大（越"宽"）

2.5 二次函数与一元二次方程的关系

二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像与 \(x\) 轴的交点情况，完全由一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的判别式决定：

判别式	抛物线与 \(x\) 轴的交点	方程的根
\(\Delta > 0\)	两个交点	两个不相等的实数根
\(\Delta = 0\)	一个交点（顶点在 \(x\) 轴上）	两个相等的实数根
\(\Delta < 0\)	无交点	没有实数根

2.6 求二次函数解析式的方法

方法一：已知三个点（一般式）

设 \(y = ax^2 + bx + c\)，把三个点的坐标代入，列三元一次方程组求 \(a\)、\(b\)、\(c\)。

方法二：已知顶点和另一个点（顶点式）

设 \(y = a(x - h)^2 + k\)，把顶点 \((h, k)\) 和另一个点代入求 \(a\)。

方法三：已知与 \(x\) 轴的两个交点和另一个点（交点式）

设 \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)，再代入第三个点求 \(a\)。

例题1： 已知二次函数的图像经过点 \((0, 1)\)、\((1, 0)\)、\((-1, 4)\)，求该二次函数的解析式。

解： 设 \(y = ax^2 + bx + c\)

将三个点代入：

• \((0, 1)\)：\(c = 1\)
• \((1, 0)\)：\(a + b + c = 0\)，即 \(a + b = -1\)
• \((-1, 4)\)：\(a - b + c = 4\)，即 \(a - b = 3\)

由 \(a + b = -1\) 和 \(a - b = 3\)，解得 \(a = 1\)，\(b = -2\)

所以解析式为 \(y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\)

例题2： 已知抛物线的顶点为 \((2, -1)\)，且经过点 \((0, 3)\)，求解析式。

解： 设 \(y = a(x - 2)^2 - 1\)

将点 \((0, 3)\) 代入：\(a(0 - 2)^2 - 1 = 3\)，即 \(4a - 1 = 3\)，解得 \(a = 1\)

所以解析式为 \(y = (x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3\)

例题3： 已知抛物线与 \(x\) 轴的交点为 \((-1, 0)\) 和 \((3, 0)\)，且经过点 \((0, -6)\)，求解析式。

解： 设 \(y = a(x + 1)(x - 3)\)

将点 \((0, -6)\) 代入：\(a(0 + 1)(0 - 3) = -6\)，即 \(-3a = -6\)，解得 \(a = 2\)

所以解析式为 \(y = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 4x - 6\)

2.7 二次函数的应用

例题4： 某商品的利润 \(y\)（元）与售价 \(x\)（元）之间的关系为 \(y = -10x^2 + 1000x - 20000\)。当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？

解： \(y = -10x^2 + 1000x - 20000 = -10(x^2 - 100x) - 20000\)

配方：\(y = -10(x^2 - 100x + 2500 - 2500) - 20000\)

\(y = -10(x - 50)^2 + 25000 - 20000\)

\(y = -10(x - 50)^2 + 5000\)

因为 \(a = -10 < 0\)，抛物线开口向下，顶点处取最大值。

所以当 \(x = 50\) 时，\(y\) 取最大值 \(5000\)。

答：当售价为50元时，利润最大，最大利润为5000元。

📌 第二章知识点总结

知识点	核心内容
二次函数定义	\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a \neq 0\)）
图像	抛物线
开口方向	\(a > 0\) 向上，\(a < 0\) 向下
对称轴	\(x = -\frac{b}{2a}\)
顶点坐标	\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)
一般式	\(y = ax^2 + bx + c\)
顶点式	\(y = a(x - h)^2 + k\)，顶点为 \((h, k)\)
交点式	\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)
与 \(x\) 轴交点	由 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 决定
最值	\(a > 0\) 时有最小值 \(k\)；\(a < 0\) 时有最大值 \(k\)

📝 第二章练习题

一、选择题

1. 抛物线 \(y = -2(x + 1)^2 + 3\) 的顶点坐标是（　）

   • 1. \((1, 3)\)
   • 2. \((-1, 3)\)
   • 3. \((1, -3)\)
   • 4. \((-1, -3)\)

2. 二次函数 \(y = x^2 - 4x + 5\) 的最小值是（　）

   • 1. 1
   • 2. 2
   • 3. 5
   • 4. 4

3. 抛物线 \(y = 2x^2 - 8x + 6\) 与 \(x\) 轴的交点坐标是（　）

   • 1. \((1, 0)\) 和 \((3, 0)\)
   • 2. \((0, 6)\)
   • 3. \((2, -2)\)
   • 4. \((-1, 0)\) 和 \((-3, 0)\)

二、填空题

4. 二次函数 \(y = 3(x - 2)^2 + 1\) 的对称轴为 ______，顶点为 ______。

5. 将抛物线 \(y = x^2\) 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ______。

6. 若二次函数 \(y = x^2 + bx + c\) 的图像经过点 \((1, 0)\) 和 \((3, 0)\)，则 $b = $ ______，$c = $ ______。

三、解答题

7. 已知二次函数 \(y = x^2 - 2x - 3\)，求：（1）抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）与 \(x\) 轴的交点坐标；（3）当 \(x\) 取何值时，\(y > 0\)？

8. 已知抛物线经过点 \((0, 5)\)，顶点为 \((2, 1)\)，求抛物线的解析式。

9. 一座拱桥的桥拱是抛物线形状，桥拱的跨度为20米，拱高为4米。在桥拱上距两端5米处，桥拱的高度是多少米？

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第三章 圆的相关性质

3.1 圆的基本概念

圆的定义： 在一个平面内，线段 \(OA\) 绕它固定的一个端点 \(O\) 旋转一周，另一个端点 \(A\) 所经过的封闭曲线叫做圆。固定的端点 \(O\) 叫做圆心，线段 \(OA\) 叫做半径。

圆的表示方法： 以 \(O\) 为圆心的圆记作 \(\odot O\)。

圆的相关概念：

概念	定义	图形特征
弦	连接圆上任意两点的线段	线段
直径	经过圆心的弦（最长的弦）	线段，长度 = 2倍半径
弧	圆上任意两点间的部分	曲线
半圆	直径把圆分成的两条弧	弧
优弧	大于半圆的弧	弧
劣弧	小于半圆的弧	弧

3.2 圆的对称性

圆是一个非常"完美"的图形，它具有高度的对称性：

1. 圆是轴对称图形：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。

2. 圆是中心对称图形：圆心就是对称中心。把圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。

3.3 垂径定理

垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

用通俗的话说：如果一条直径（或半径）垂直于一条弦，那么这条直径（或半径）一定经过这条弦的中点。

推论：

• 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的两条弧。
• 弦的垂直平分线经过圆心。

例题1： 如图，\(\odot O\) 的半径为5cm，弦 \(AB\) 的长为8cm，求圆心 \(O\) 到弦 \(AB\) 的距离。

解： 过 \(O\) 作 \(OM \perp AB\) 于 \(M\)，则 \(M\) 为 \(AB\) 的中点。

所以 \(AM = \frac{1}{2}AB = 4\) cm

在直角三角形 \(OMA\) 中，由勾股定理：

\(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ (cm)}\)

答：圆心到弦 \(AB\) 的距离为3cm。

3.4 弧、弦、圆心角的关系

圆心角： 顶点在圆心的角叫做圆心角。

定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：

• 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
• 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

简单来说：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者中，只要有一个相等，其他两个也相等。

3.5 圆周角定理

圆周角： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

重要推论：

1. 同弧所对的圆周角相等。（在同圆或等圆中，同一段弧上的圆周角都相等）

2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。 反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。

   这个推论非常常用！它的意思是：如果 \(AB\) 是直径，\(C\) 是圆上除 \(A\)、\(B\) 外的任意一点，那么 \(\angle ACB = 90°\)。

3. 圆内接四边形的对角互补。 即圆内接四边形的任意一组对角之和等于 \(180°\)。

例题2： 如图，\(AB\) 是 \(\odot O\) 的直径，\(C\) 是圆上的一点，\(\angle BAC = 35°\)，求 \(\angle ABC\) 的度数。

解： 因为 \(AB\) 是直径，所以 \(\angle ACB = 90°\)（直径所对的圆周角是直角）

在三角形 \(ABC\) 中：

\(\angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle BAC = 180° - 90° - 35° = 55°\)

例题3： 在 \(\odot O\) 中，弦 \(AB\) 与弦 \(CD\) 相交于点 \(P\)，\(\angle APC = 60°\)，\(\overset{\frown}{AC} = 70°\)，求 \(\overset{\frown}{BD}\) 的度数。

解： 根据圆周角定理的推论，\(\angle APC\) 等于 \(\overset{\frown}{AC}\) 与 \(\overset{\frown}{BD}\) 所对应的圆周角之和的一半（不对，这里是圆内角问题）。

实际上，相交弦定理告诉我们：\(\angle APC = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{BD})\)

所以 \(60° = \frac{1}{2}(70° + \overset{\frown}{BD})\)

解得 \(\overset{\frown}{BD} = 50°\)

3.6 直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系：

位置关系	公共点个数	圆心到直线的距离 \(d\) 与半径 \(r\) 的关系
相离	0个	\(d > r\)
相切	1个	\(d = r\)
相交	2个	\(d < r\)

切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。

切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

例题4： 已知 \(\odot O\) 的半径为3cm，圆心 \(O\) 到直线 \(l\) 的距离为5cm。判断直线 \(l\) 与 \(\odot O\) 的位置关系。

解： 因为 \(d = 5\) cm \(> r = 3\) cm

所以直线 \(l\) 与 \(\odot O\) 相离。

例题5： 如图，\(PA\) 切 \(\odot O\) 于点 \(A\)，\(PB\) 切 \(\odot O\) 于点 \(B\)，\(\angle APB = 60°\)，\(\odot O\) 的半径为3cm。求切线长 \(PA\)。

解： 连接 \(OA\)、\(OP\)

因为 \(PA\) 是切线，所以 \(OA \perp PA\)（切线垂直于过切点的半径）

同理 \(OB \perp PB\)

由切线长定理，\(PA = PB\)，且 \(OP\) 平分 \(\angle APB\)

所以 \(\angle APO = \frac{1}{2} \times 60° = 30°\)

在直角三角形 \(OAP\) 中：

\(PA = OA \cdot \cot 30° = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ (cm)}\)

3.7 圆与圆的位置关系

两圆之间的位置关系共有五种：

位置关系	公共点个数	圆心距 \(d\) 与两半径 \(R\)、\(r\) 的关系
外离	0个	\(d > R + r\)
外切	1个	\(d = R + r\)
相交	2个	\(|R - r| < d < R + r\)
内切	1个	\(d = |R - r|\)（\(R \neq r\)）
内含	0个	\(d < |R - r|\)（\(R \neq r\)）

3.8 正多边形与圆

正多边形的外接圆： 任何正多边形都有一个外接圆，圆心就是正多边形的中心。

正多边形的内切圆： 任何正多边形都有一个内切圆，圆心也是正多边形的中心。

正 \(n\) 边形的中心角： \(\frac{360°}{n}\)

例题6： 求正六边形的中心角和每个内角。

解： 正六边形的中心角 \(= \frac{360°}{6} = 60°\)

正六边形每个内角 \(= \frac{(6-2) \times 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°\)

3.9 弧长与扇形面积

弧长公式： 半径为 \(r\)，圆心角为 \(n°\) 的弧的长度为

\(l = \frac{n\pi r}{180}\)

扇形面积公式： 半径为 \(r\)，圆心角为 \(n°\) 的扇形面积为

\(S = \frac{n\pi r^2}{360}\)

也可以用弧长表示：\(S = \frac{1}{2}lr\)

例题7： 一个扇形的圆心角为 \(120°\)，半径为6cm，求扇形的弧长和面积。

解： 弧长：\(l = \frac{120 \times \pi \times 6}{180} = 4\pi\) (cm)

面积：\(S = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 6 = 12\pi\) (cm²)

📌 第三章知识点总结

知识点	核心内容
圆的定义	平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合
垂径定理	垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
圆心角	顶点在圆心的角
圆周角定理	圆周角等于同弧所对圆心角的一半
直径对圆周角	直径所对的圆周角为 \(90°\)
切线判定	过半径外端且垂直于半径的直线是切线
切线性质	切线垂直于过切点的半径
切线长定理	从圆外一点引的两条切线长相等
直线与圆位置	相离（\(d > r\)）、相切（\(d = r\)）、相交（\(d < r\)）
弧长公式	\(l = \frac{n\pi r}{180}\)
扇形面积	\(S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{1}{2}lr\)

📝 第三章练习题

一、选择题

1. 在 \(\odot O\) 中，弦 \(AB\) 的长为6，圆心到 \(AB\) 的距离为4，则 \(\odot O\) 的半径为（　）

   • 1. 3
   • 2. 4
   • 3. 5
   • 4. 7

2. 已知 \(\odot O\) 的半径为5cm，圆心到直线 \(l\) 的距离为5cm，则直线 \(l\) 与 \(\odot O\) 的位置关系是（　）

   • 1. 相交
   • 2. 相切
   • 3. 相离
   • 4. 无法确定

3. 半径为6的圆中，圆心角为 \(60°\) 的扇形面积是（　）

   • 1. \(6\pi\)
   • 2. \(12\pi\)
   • 3. \(36\pi\)
   • 4. \(72\pi\)

二、填空题

4. \(\odot O\) 的直径为10cm，弦 \(AB\) 的长为8cm，则 \(AB\) 的弦心距为 ______ cm。

5. \(AB\) 是 \(\odot O\) 的直径，\(C\) 是圆上一点，\(\angle ABC = 65°\)，则 $\angle BAC = $ ______。

6. 一个扇形的弧长为 \(6\pi\) cm，半径为9cm，则这个扇形的圆心角为 ______ 度。

三、解答题

7. \(\odot O\) 的半径为13cm，弦 \(AB = 24\) cm，弦 \(CD = 10\) cm，且 \(AB \parallel CD\)。求 \(AB\) 与 \(CD\) 之间的距离。

8. 已知 \(PA\) 是 \(\odot O\) 的切线，\(A\) 为切点，\(PO\) 交 \(\odot O\) 于点 \(B\)，\(\angle P = 30°\)，\(\odot O\) 的半径为2cm。求 \(PA\) 的长。

9. 如图，两个同心圆的半径分别为3和5，求圆环的面积。

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第四章 概率初步

4.1 随机事件

在自然界和日常生活中，我们经常会遇到各种各样的事件。根据发生的可能性，事件可以分为三类：

事件类型	定义	举例
必然事件	在一定条件下必然会发生的事件	太阳从东方升起
不可能事件	在一定条件下不可能发生的事件	掷一枚骰子，出现7点
随机事件	在一定条件下可能发生也可能不发生的事件	掷一枚硬币，正面朝上

注意： 必然事件和不可能事件统称为确定事件，而随机事件是不确定事件。概率论研究的核心就是随机事件。

4.2 概率的意义

什么是概率？

概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的数值。

对于一个随机事件 \(A\)，我们用 \(P(A)\) 来表示事件 \(A\) 发生的概率。

概率的取值范围： \(0 \leq P(A) \leq 1\)

• 当 \(P(A) = 0\) 时，事件 \(A\) 是不可能事件
• 当 \(P(A) = 1\) 时，事件 \(A\) 是必然事件
• 当 \(0 < P(A) < 1\) 时，事件 \(A\) 是随机事件

概率的含义： 如果一个事件发生的概率是 \(\frac{1}{4}\)，意思是：在大量重复试验中，该事件发生的频率大约稳定在 \(\frac{1}{4}\) 附近。并不是说做4次试验就一定发生1次！

4.3 等可能事件的概率

如果一个试验有 \(n\) 种等可能的结果，事件 \(A\) 包含其中的 \(m\) 种结果，那么：

\(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{事件A包含的结果数}}{\text{所有等可能的结果总数}}\)

这就是古典概型的概率计算公式，也是初中阶段最常用的概率计算方法。

关键前提： 每种结果出现的可能性必须相等！

例题1： 一个袋子里有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同。从袋中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。

解： 袋中共有 \(3 + 2 = 5\) 个球，每个球被摸到的可能性相等。

摸到红球的结果数为3。

所以 \(P(\text{摸到红球}) = \frac{3}{5}\)

例题2： 掷一枚均匀的骰子，求出现的点数大于4的概率。

解： 掷一枚骰子，可能出现的点数为1、2、3、4、5、6，共6种等可能结果。

点数大于4的结果有：5、6，共2种。

所以 \(P(\text{点数大于4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

4.4 用列举法求概率

当试验涉及的因素较少时，我们可以把所有可能的结果一一列举出来，从而求出概率。

列表法

当试验涉及两个因素时，可以用列表法。

例题3： 同时掷两枚均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为7的概率。

解： 用列表法列出所有可能的结果：

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

共有 \(6 \times 6 = 36\) 种等可能结果。

点数之和为7的结果有：\((1,6)\)、\((2,5)\)、\((3,4)\)、\((4,3)\)、\((5,2)\)、\((6,1)\)，共6种。

所以 \(P(\text{点数之和为7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)

树状图法

当试验涉及三个或更多因素时，用树状图法更清晰。

例题4： 一个口袋中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同。先从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。

解： 用树状图列出所有结果：

          第一次
         /     \
       红(2/3)  白(1/3)
       / \       / \
     红   白    红   白

所有等可能的结果：

• (红, 红)、(红, 红)、(红, 白)
• (红, 红)、(红, 红)、(红, 白)
• (白, 红)、(白, 红)、(白, 白)

注意：因为放回了，每次摸球的条件相同。实际上我们用编号来分析更准确。

将2个红球编号为红₁、红₂，则共有 \(3 \times 3 = 9\) 种等可能结果。

两次都摸到红球的结果有：(红₁,红₁)、(红₁,红₂)、(红₂,红₁)、(红₂,红₂)，共4种。

所以 \(P(\text{两次都摸到红球}) = \frac{4}{9}\)

4.5 用频率估计概率

当一个试验的所有结果不是等可能的，或者结果数量太多无法一一列举时，我们可以通过大量重复试验，用事件发生的频率来估计概率。

频率 = 事件发生的次数 ÷ 试验总次数

当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。

例题5： 某同学做抛硬币试验，抛了200次，其中正面朝上有103次。请估计正面朝上的概率。

解： 频率 \(= \frac{103}{200} = 0.515\)

随着试验次数增加，正面朝上的频率会稳定在 \(0.5\) 附近。

所以正面朝上的概率约为 \(0.5\)（即 \(\frac{1}{2}\)）。

📌 第四章知识点总结

知识点	核心内容
随机事件	可能发生也可能不发生的事件
必然事件	一定发生的事件，\(P = 1\)
不可能事件	一定不发生的事件，\(P = 0\)
概率的取值	\(0 \leq P(A) \leq 1\)
古典概型	\(P(A) = \frac{m}{n}\)（等可能事件）
列表法	适用于两个因素的试验
树状图法	适用于三个及以上因素的试验
频率估计概率	大量重复试验中，频率稳定在概率附近

📝 第四章练习题

一、选择题

1. 下列事件中，属于随机事件的是（　）

   • 1. 水在标准大气压下加热到100°C会沸腾
   • 2. 从一副扑克牌中随机抽一张，抽到大王
   • 3. 太阳从西边升起
   • 4. 任意画一个三角形，其内角和为180°

2. 一个袋中有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（　）

   • 1. \(\frac{3}{8}\)
   • 2. \(\frac{5}{8}\)
   • 3. \(\frac{3}{5}\)
   • 4. \(\frac{5}{3}\)

3. 同时掷两枚硬币，两枚都是正面朝上的概率是（　）

   • 1. \(\frac{1}{2}\)
   • 2. \(\frac{1}{3}\)
   • 3. \(\frac{1}{4}\)
   • 4. \(\frac{1}{6}\)

二、填空题

4. 掷一枚均匀的骰子，出现奇数点的概率是 ______。

5. 一个不透明的袋子中有3个红球、2个黄球和1个蓝球，从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ______，摸到的球不是红球的概率是 ______。

6. 从1、2、3、4、5这五个数字中随机抽取一个，抽到偶数的概率是 ______。

三、解答题

7. 一个转盘被等分成8个扇形，其中3个扇形涂红色，2个扇形涂蓝色，3个扇形涂黄色。转动转盘一次，求：（1）指针指向红色区域的概率；（2）指针指向蓝色或黄色区域的概率。

8. 同时掷一枚硬币和一枚骰子，求硬币正面朝上且骰子点数为偶数的概率。

9. 某班有40名同学，其中男生25人，女生15人。老师随机叫一名同学回答问题，求：（1）叫到男生的概率；（2）叫到女生的概率。

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综合练习

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 方程 \(x^2 - 2x = 0\) 的解是（　）

   • 1. \(x = 2\)
   • 2. \(x = 0\)
   • 3. \(x_1 = 0, x_2 = 2\)
   • 4. \(x_1 = 0, x_2 = -2\)

2. 一元二次方程 \(x^2 + 3x + 1 = 0\) 的两根之和为（　）

   • 1. 3
   • 2. -3
   • 3. 1
   • 4. -1

3. 二次函数 \(y = -(x + 2)^2 - 1\) 的图像开口方向和顶点坐标分别为（　）

   • 1. 开口向上，顶点 \((-2, -1)\)
   • 2. 开口向下，顶点 \((-2, -1)\)
   • 3. 开口向上，顶点 \((2, -1)\)
   • 4. 开口向下，顶点 \((2, 1)\)

4. 抛物线 \(y = 2x^2 - 4x + 1\) 的对称轴是（　）

   • 1. \(x = 1\)
   • 2. \(x = -1\)
   • 3. \(x = 2\)
   • 4. \(x = -2\)

5. 下列说法正确的是（　）

   • 1. 半圆是弧
   • 2. 弧是半圆
   • 3. 直径是弦，弦是直径
   • 4. 圆的切线就是过圆上一点的直线

6. \(\odot O\) 的半径为5，点 \(P\) 到圆心 \(O\) 的距离为3，则点 \(P\) 在（　）

   • 1. \(\odot O\) 上
   • 2. \(\odot O\) 外
   • 3. \(\odot O\) 内
   • 4. 无法确定

7. 已知 \(PA\) 是 \(\odot O\) 的切线，\(A\) 为切点，连接 \(OA\)，则 \(\angle PAO\) 等于（　）

   • 1. \(30°\)
   • 2. \(45°\)
   • 3. \(60°\)
   • 4. \(90°\)

8. 下列事件中，概率为 \(\frac{1}{2}\) 的是（　）

   • 1. 掷一枚骰子出现3点
   • 2. 掷一枚硬币正面朝上
   • 3. 从一副扑克牌中抽到红桃
   • 4. 从1到10中随机抽到奇数

9. 二次函数 \(y = x^2 + 2x - 3\) 与 \(x\) 轴的交点坐标是（　）

   • 1. \((1, 0)\) 和 \((-3, 0)\)
   • 2. \((-1, 0)\) 和 \((3, 0)\)
   • 3. \((0, -3)\)
   • 4. \((0, 1)\) 和 \((0, -3)\)

10. 一个扇形的弧长为 \(2\pi\)，半径为4，则扇形的圆心角为（　）

    • 1. \(45°\)
    • 2. \(90°\)
    • 3. \(135°\)
    • 4. \(180°\)

二、填空题（每题3分，共18分）

11. 方程 \(x^2 - 6x + 5 = 0\) 的两个根为 $x_1 = $ ______，$x_2 = $ ______。

12. 二次函数 \(y = -2(x - 3)^2 + 5\) 的最大值为 ______，此时 $x = $ ______。

13. 若 \(\odot O\) 的半径为 \(r\)，圆心到直线 \(l\) 的距离为 \(d\)，且 \(d = r\)，则直线 \(l\) 与 \(\odot O\) 的位置关系是 ______。

14. \(AB\) 是 \(\odot O\) 的直径，\(C\) 是圆上一点，\(\angle BAC = 30°\)，则 $\angle ACB = $ ______。

15. 抛物线 \(y = 3x^2\) 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 ______。

16. 一个袋中有4个红球和6个白球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ______。

三、解答题（共52分）

17.（8分）解下列方程：

• （1）\(x^2 - 4x - 5 = 0\)（用因式分解法）
• （2）\(2x^2 + 3x - 1 = 0\)（用公式法）

18.（8分）已知二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像经过点 \((-1, 0)\)、\((3, 0)\) 和 \((0, -6)\)。

• （1）求该二次函数的解析式；
• （2）求抛物线的顶点坐标；
• （3）当 \(x\) 为何值时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大？

19.（8分）如图，\(\odot O\) 的半径为5cm，\(AB\) 是 \(\odot O\) 的弦，\(OC \perp AB\) 于 \(C\)，\(OC = 3\) cm。

• （1）求弦 \(AB\) 的长；
• （2）求 \(\overset{\frown}{AB}\) 的度数（提示：先求 \(\angle AOB\)）。

20.（8分）一个不透明的袋子里有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。

• （1）从袋中随机摸出一个球，求摸到红球的概率；
• （2）从袋中随机摸出两个球（不放回），求两个球都是白球的概率。

21.（10分）某商场销售一种商品，每件进价为40元。调查发现，当每件售价为60元时，每月可售出200件；每件售价每增加1元，月销量就减少5件。

• （1）设每件商品的售价为 \(x\) 元（\(x > 60\)），月利润为 \(y\) 元，求 \(y\) 关于 \(x\) 的函数关系式；
• （2）当售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

22.（10分）如图，\(AB\) 是 \(\odot O\) 的直径，\(PA\) 切 \(\odot O\) 于点 \(A\)，\(PB\) 交 \(\odot O\) 于点 \(C\)，\(\angle P = 40°\)。

• （1）求 \(\angle AOC\) 的度数；
• （2）若 \(\odot O\) 的半径为 \(r\)，用 \(r\) 表示 \(PA\) 的长。

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参考答案

第一章练习题参考答案

一、选择题

1. C — A有两个未知数，B不是整式方程，D最高次数为1。
2. C — \(x^2 = 9\)，\(x = \pm 3\)。
3. B — \(\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 9 + 8 = 17\)。

二、填空题

4. \(x_1 = 1\)，\(x_2 = 3\) — 因式分解 \((x-1)(x-3) = 0\)
5. \(k = \pm 6\) — \(\Delta = k^2 - 4 \times 9 = 0\)，\(k^2 = 36\)
6. \(m = 4\)，另一个根为 \(x = 4\) — 代入 \(x=1\)：\(1 - 5 + m = 0\)，\(m = 4\)；由韦达定理 \(x_1 + x_2 = 5\)，\(x_2 = 4\)

三、解答题

7. 配方：\(x^2 - 8x + 16 = -12 + 16\)，\((x-4)^2 = 4\)，\(x - 4 = \pm 2\)，\(x_1 = 6\)，\(x_2 = 2\)

8. \(\Delta = 4 + 24 = 28\)，\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}\)

9. 设每件降价 \(x\) 元，则每件利润为 \((10-x)\) 元，日销量为 \((100+10x)\) 件。 \((10-x)(100+10x) = 1200\) \(1000 + 100x - 100x - 10x^2 = 1200\) \(-10x^2 + 1000 = 1200\) \(x^2 = -20\)（无解） 重新检查：售价30元，进价20元，利润10元。设降价 \(x\) 元。 每件利润 \(= 10 - x\)，日销量 \(= 100 + 10x\) \((10 - x)(100 + 10x) = 1200\) \(1000 + 100x - 100x - 10x^2 = 1200\) \(-10x^2 = 200\)，\(x^2 = -20\)（无实数解）

   说明：按题设条件无法达到1200元利润。最大日利润在 \(x = 0\) 时取得：\(10 \times 100 = 1000\) 元。题目数据需要调整。在实际考试中若遇到类似情况，需向老师确认题意。

第二章练习题参考答案

一、选择题

1. B — 顶点式 \(y = a(x-h)^2 + k\) 中，顶点为 \((h, k) = (-1, 3)\)。
2. A — \(y = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1\)，最小值为1。
3. A — \(2x^2 - 8x + 6 = 0\)，\(x^2 - 4x + 3 = 0\)，\((x-1)(x-3) = 0\)，\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 3\)。

二、填空题

4. 对称轴 \(x = 2\)，顶点 \((2, 1)\)
5. \(y = (x-3)^2 - 2\) — 向右平移3个单位：\(x\) 变为 \(x-3\)；向下平移2个单位：\(y\) 减2。
6. \(b = -4\)，\(c = 3\) — 代入 \((1, 0)\)：\(1 + b + c = 0\)；代入 \((3, 0)\)：\(9 + 3b + c = 0\)。解方程组得 \(b = -4\)，\(c = 3\)。

三、解答题

7. \(y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4\)

   • （1）顶点 \((1, -4)\)，对称轴 \(x = 1\)
   • （2）令 \(y = 0\)：\((x-1)^2 = 4\)，\(x = 3\) 或 \(x = -1\)，交点 \((-1, 0)\) 和 \((3, 0)\)
   • （3）\(y > 0\) 即 \((x-1)^2 > 4\)，\(x > 3\) 或 \(x < -1\)

8. 设 \(y = a(x-2)^2 + 1\)，代入 \((0, 5)\)：\(4a + 1 = 5\)，\(a = 1\)，\(y = (x-2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5\)

9. 建立坐标系，以桥拱最高点为原点，\(y\) 轴向上。设抛物线为 \(y = ax^2\)。 跨度20米，两端点为 \((-10, -4)\) 和 \((10, -4)\)（拱高4米，两端比顶点低4米）。 代入：\(-4 = a \times 100\)，\(a = -0.04\) 距两端5米处，即 \(x = \pm 5\)： \(y = -0.04 \times 25 = -1\) 桥拱高度 \(= 4 - 1 = 3\)（米）

第三章练习题参考答案

一、选择题

1. C — \(r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
2. B — \(d = r = 5\)，相切。
3. A — \(S = \frac{60 \times \pi \times 6^2}{360} = \frac{60 \times 36\pi}{360} = 6\pi\)

二、填空题

4. 3 cm — 弦心距 \(= \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)
5. \(25°\) — \(\angle ACB = 90°\)（直径对圆周角），\(\angle BAC = 90° - 65° = 25°\)
6. \(120°\) — \(6\pi = \frac{n \times \pi \times 9}{180}\)，\(n = 120\)

三、解答题

7. 弦 \(AB = 24\)，弦心距 \(= \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5\) 弦 \(CD = 10\)，弦心距 \(= \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\) \(AB \parallel CD\)，两弦在圆心同侧时距离 \(= 12 - 5 = 7\)，在圆心两侧时距离 \(= 12 + 5 = 17\)

8. 连接 \(OA\)，则 \(OA \perp PA\)。在 \(\text{Rt} \triangle OAP\) 中，\(\angle P = 30°\)，\(OA = 2\)。 \(\tan 30° = \frac{OA}{PA}\)，\(PA = \frac{OA}{\tan 30°} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) (cm)

9. \(S = \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi\)

第四章练习题参考答案

一、选择题

1. B — 从一副牌中抽到大王是随机事件。A是必然事件，C是不可能事件，D是必然事件。
2. B — \(P = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}\)
3. C — 两枚硬币：(正正)、(正反)、(反正)、(反反)，共4种，正面都朝上的有1种，\(P = \frac{1}{4}\)

二、填空题

4. \(\frac{1}{2}\) — 奇数有1、3、5，共3个，\(P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
5. 摸到黄球 \(= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)；不是红球 \(= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
6. \(\frac{2}{5}\) — 偶数有2和4，共2个，\(P = \frac{2}{5}\)

三、解答题

7. （1）\(P(\text{红}) = \frac{3}{8}\)；（2）\(P(\text{蓝或黄}) = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8}\)

8. 硬币正面朝上 \(P_1 = \frac{1}{2}\)，骰子偶数 \(P_2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)。两事件独立，\(P = P_1 \times P_2 = \frac{1}{4}\)

9. （1）\(P(\text{男}) = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}\)；（2）\(P(\text{女}) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}\)

综合练习参考答案

一、选择题

1. C — \(x(x-2) = 0\)，\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 2\)
2. B — \(x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3\)
3. B — 开口向下（\(a = -1 < 0\)），顶点 \((-2, -1)\)
4. A — \(x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1\)
5. A — 半圆是弧的特殊情况，正确。B错（弧不一定是半圆），C错（弦不一定是直径），D错（切线需垂直于半径）
6. C — \(3 < 5\)，点在圆内
7. D — 切线垂直于过切点的半径
8. B — 掷硬币正面朝上概率为 \(\frac{1}{2}\)
9. A — \(x^2 + 2x - 3 = 0\)，\((x+3)(x-1) = 0\)，\(x_1 = -3\)，\(x_2 = 1\)
10. B — \(2\pi = \frac{n \times \pi \times 4}{180}\)，\(n = 90°\)

二、填空题

11. \(x_1 = 1\)，\(x_2 = 5\)
12. 最大值 \(5\)，\(x = 3\)
13. 相切
14. \(90°\) — 直径所对圆周角
15. \(y = 3(x + 2)^2 + 1\)
16. \(\frac{2}{5}\)

三、解答题

17. （1）\(x^2 - 4x - 5 = 0\)，\((x-5)(x+1) = 0\)，\(x_1 = 5\)，\(x_2 = -1\) （2）\(\Delta = 9 + 8 = 17\)，\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}\)

18. （1）\(y = a(x+1)(x-3)\)，代入 \((0, -6)\)：\(a \times 1 \times (-3) = -6\)，\(a = 2\)，\(y = 2x^2 - 4x - 6\) （2）\(y = 2(x^2 - 2x) - 6 = 2(x-1)^2 - 8\)，顶点 \((1, -8)\) （3）对称轴 \(x = 1\)，\(a = 2 > 0\)，当 \(x > 1\) 时 \(y\) 随 \(x\) 增大而增大

19. （1）\(OC \perp AB\)，\(AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\)，\(AB = 2AC = 8\) (cm) （2）\(\sin \angle AOC = \frac{AC}{OA} = \frac{4}{5}\)，\(\angle AOC = \arcsin\frac{4}{5} \approx 53.13°\)，\(\angle AOB = 2 \times 53.13° \approx 106.26°\) 弧 \(AB\) 的度数约为 \(106.26°\)（精确值为 \(2\arcsin\frac{4}{5}\)）

20. （1）\(P(\text{红}) = \frac{2}{5}\) （2）总球数5个，摸2个的组合数 \(C_5^2 = 10\)，两个都是白球的组合数 \(C_3^2 = 3\)，\(P = \frac{3}{10}\)

21. （1）售价 \(x\) 元，每件利润 \((x - 40)\) 元，月销量 \(= 200 - 5(x - 60) = 500 - 5x\) \(y = (x - 40)(500 - 5x) = -5x^2 + 700x - 20000\)（\(x > 60\)） （2）\(y = -5(x^2 - 140x) - 20000 = -5(x - 70)^2 + 4500\) 当 \(x = 70\) 时，\(y\) 取最大值 \(4500\) 元。 检验：\(x = 70 > 60\)，符合条件。

22. （1）连接 \(AC\)。\(PA\) 切 \(\odot O\) 于 \(A\)，\(AB\) 是直径，所以 \(PA \perp AB\)。 在 \(\text{Rt} \triangle PAB\) 中，\(\angle P = 40°\)，\(\angle PBA = 50°\)。 \(\angle ACB = 90°\)（直径所对圆周角），\(\angle BAC = 90° - 50° = 40°\)。 \(\angle AOC = 2 \angle ABC = 2 \times 50° = 100°\)（圆心角是圆周角的2倍）

    （2）\(OA = r\)，\(OA \perp PA\)。在 \(\text{Rt} \triangle OAP\) 中，\(\angle P = 40°\)，\(\angle POA = 50°\)。 \(\tan 40° = \frac{OA}{PA}\)，\(PA = \frac{r}{\tan 40°} = r \cdot \cot 40°\)

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学习建议： 本教程涵盖了九年级上册数学的核心内容。建议同学们在学习每一章时，先理解概念和公式，再通过例题掌握解题方法，最后通过练习题巩固所学知识。对于做错的题目，要认真分析错因，建立错题本，定期复习。数学学习贵在坚持，每天进步一点点，中考一定能取得好成绩！