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内容简介
系统讲解高一上册数学核心内容，涵盖集合的概念与运算、函数的概念与性质、指数函数与对数函数、零点与二分法等。
高一数学上册教程——集合与函数
适用年级：高一上册
科目：数学
内容范围：集合的概念与运算、函数的概念与性质、指数函数与对数函数、零点与二分法
目录
第一章 集合
1.1 集合的概念与表示
1.1.1 集合的概念
集合是数学中最基本的概念之一。我们把一些能够确定的对象看成一个整体，这个整体就称为一个集合（set），集合中的每个对象称为该集合的元素（element）。
集合中元素的三大特征：
| 特征 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| 确定性 | 对于一个给定的集合，任何一个对象要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一 | 不能模棱两可 |
| 互异性 | 集合中的元素互不相同 | 不能重复出现 |
| 无序性 | 集合中的元素没有先后顺序之分 | {1,2,3} = {3,1,2} |
元素与集合的关系用符号表示：
- 若元素 \(a\) 属于集合 \(A\)，记作 \(a \in A\)
- 若元素 \(a\) 不属于集合 \(A\)，记作 \(a \notin A\)
常用数集及符号：
| 数集 | 符号 | 含义 |
|---|---|---|
| 自然数集 | \(\mathbb{N}\) | {0, 1, 2, 3, ...} |
| 正整数集 | \(\mathbb{N}^*\) 或 \(\mathbb{N}_+\) | {1, 2, 3, ...} |
| 整数集 | \(\mathbb{Z}\) | {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} |
| 有理数集 | \(\mathbb{Q}\) | 所有可以表示为分数的数 |
| 实数集 | \(\mathbb{R}\) | 所有有理数和无理数 |
1.1.2 集合的表示方法
（1）列举法
把集合中的元素一一列举出来，写在花括号 {} 内。
例如：不大于5的正整数构成的集合可以表示为 \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)。
注意：元素之间用逗号隔开，列举时不必考虑顺序，但不能遗漏也不能重复。
（2）描述法
用集合中元素的共同特征来描述集合，形式为：
\(A = \{x \mid p(x)\}\)
其中 \(x\) 是元素的一般形式，\(p(x)\) 是元素 \(x\) 所满足的条件。
例如：
- \(A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\} = \{-1, 1\}\)
- \(B = \{x \mid x \text{ 是直角三角形}\}\)（所有直角三角形构成的集合）
- \(C = \{(x, y) \mid y = x^2\}\)（抛物线上的所有点）
（3）图示法（韦恩图）
用封闭曲线（通常是圆）内部的点来表示集合，可以直观地展示集合之间的关系。
1.2 集合间的基本关系
1.2.1 子集
如果集合 \(A\) 中的任意一个元素都是集合 \(B\) 中的元素，那么称集合 \(A\) 是集合 \(B\) 的子集（subset），记作：
\(A \subseteq B \quad \text{（读作"A包含于B"或"B包含A"）}\)
等价地：\(B \supseteq A\)
性质：
- 任何一个集合是它自身的子集：\(A \subseteq A\)
- 空集是任何集合的子集：\(\emptyset \subseteq A\)
1.2.2 真子集
如果 \(A \subseteq B\)，且 \(A \neq B\)（即 \(B\) 中至少有一个元素不属于 \(A\)），那么称 \(A\) 是 \(B\) 的真子集（proper subset），记作：
\(A \subsetneq B\)
性质：
- 空集是任何非空集合的真子集
- 若 \(A \subseteq B\) 且 \(B \subseteq A\)，则 \(A = B\)
1.2.3 集合相等
若 \(A \subseteq B\) 且 \(B \subseteq A\)，则 \(A = B\)。
1.2.4 空集
不含任何元素的集合称为空集，记作 \(\emptyset\)。
空集的特殊性质：
- \(\emptyset\) 是任何集合的子集
- \(\emptyset\) 是任何非空集合的真子集
- \(\emptyset\) 没有子集（除了它自身，严格说只有一个子集就是 \(\emptyset\) 本身）
1.2.5 子集个数问题
若集合 \(A\) 有 \(n\) 个元素，则：
- \(A\) 的子集个数为 \(2^n\)
- \(A\) 的真子集个数为 \(2^n - 1\)
- \(A\) 的非空子集个数为 \(2^n - 1\)
- \(A\) 的非空真子集个数为 \(2^n - 2\)
1.3 集合的基本运算
1.3.1 交集
由所有既属于 \(A\) 又属于 \(B\) 的元素组成的集合，称为 \(A\) 与 \(B\) 的交集（intersection），记作：
\(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}\)
性质：
- \(A \cap A = A\)
- \(A \cap \emptyset = \emptyset\)
- \(A \cap B = B \cap A\)（交换律）
- \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)（结合律）
1.3.2 并集
由所有属于 \(A\) 或属于 \(B\) 的元素组成的集合，称为 \(A\) 与 \(B\) 的并集（union），记作：
\(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}\)
性质：
- \(A \cup A = A\)
- \(A \cup \emptyset = A\)
- \(A \cup B = B \cup A\)（交换律）
- \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)（结合律）
1.3.3 补集
设全集为 \(U\)，集合 \(A \subseteq U\)，由 \(U\) 中不属于 \(A\) 的所有元素组成的集合，称为 \(A\) 相对于 \(U\) 的补集（complement），记作：
\(\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}\)
性质：
- \(A \cup \complement_U A = U\)
- \(A \cap \complement_U A = \emptyset\)
- \(\complement_U(\complement_U A) = A\)（补集的补集等于原集合）
- \(\complement_U(A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)\)（德摩根律）
- \(\complement_U(A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)\)（德摩根律）
1.3.4 集合运算的韦恩图表示
交集、并集和补集可以用韦恩图直观表示：
- 交集：两个圆重叠的部分
- 并集：两个圆覆盖的全部区域
- 补集：全集矩形中减去目标圆的区域
1.4 集合章节总结
| 知识点 | 核心内容 | 易错提醒 |
|---|---|---|
| 集合的三要素 | 确定性、互异性、无序性 | 注意检验元素是否满足互异性 |
| 元素与集合关系 | \(\in\) 和 \(\notin\) | 元素与集合是"属于"关系，不能用 \(\subseteq\) |
| 子集与真子集 | \(A \subseteq B\) vs \(A \subsetneq B\) | 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 |
| 交集 | \(A \cap B\)：取公共部分 | 交集结果一定同时是 \(A\) 和 \(B\) 的子集 |
| 并集 | \(A \cup B\)：取全部 | 并集结果一定同时包含 \(A\) 和 \(B\) |
| 补集 | \(\complement_U A\)：全集中去掉 \(A\) | 必须先明确全集 \(U\) |
| 子集个数 | \(n\) 个元素有 \(2^n\) 个子集 | 别忘了空集和集合本身 |
| 德摩根律 | 补集运算中的对偶关系 | 交变并，并变交 |
1.5 典型例题
例题1：集合的表示
题目：用列举法表示集合 \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 3\}\)。
解答：
满足 \(-2 < x \leq 3\) 的整数 \(x\) 为 \(-1, 0, 1, 2, 3\)。
所以 \(A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}\)。
例题2：子集个数
题目：已知集合 \(A = \{1, 2, a\}\)，\(B = \{1, a^2\}\)，且 \(B \subseteq A\)，求实数 \(a\) 的值。
解答：
因为 \(B \subseteq A\)，所以 \(B\) 中的每个元素都属于 \(A\)。
\(B = \{1, a^2\}\)，元素 \(1 \in A\) 显然成立。
对于 \(a^2\)：\(a^2 \in A\)，即 \(a^2 = 1\) 或 \(a^2 = 2\) 或 \(a^2 = a\)。
若 \(a^2 = 1\)，则 \(a = 1\) 或 \(a = -1\)。但 \(a = 1\) 时，\(A = \{1, 2, 1\}\) 违反互异性，舍去。所以 \(a = -1\)。 验证：\(A = \{1, 2, -1\}\)，\(B = \{1, 1\}\) 违反互异性。舍去。 注意：\(a = -1\) 时，\(a^2 = 1\)，\(B = \{1, 1\} = \{1\}\)，这是合法的。 验证：\(B = \{1\} \subseteq A = \{1, 2, -1\}\)，成立。所以 \(a = -1\)。
若 \(a^2 = 2\)，则 \(a = \sqrt{2}\) 或 \(a = -\sqrt{2}\)。此时 \(A = \{1, 2, \sqrt{2}\}\) 或 \(\{1, 2, -\sqrt{2}\}\)，\(B = \{1, 2\} \subseteq A\)，均成立。
若 \(a^2 = a\)，则 \(a = 0\) 或 \(a = 1\)。\(a = 1\) 舍去。\(a = 0\) 时，\(A = \{1, 2, 0\}\)，\(B = \{1, 0\} \subseteq A\)，成立。
综上，\(a\) 的值为 \(-1, 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\)。
例题3：集合的运算
题目：设全集 \(U = \mathbb{R}\)，集合 \(A = \{x \mid -1 \leq x < 3\}\)，\(B = \{x \mid 0 < x \leq 5\}\)，求 \(A \cap B\)，\(A \cup B\)，\(\complement_U A\)。
解答：
交集：\(A \cap B\) 取 \(A\) 和 \(B\) 的公共部分。
\(A: -1 \leq x < 3\)，\(B: 0 < x \leq 5\)。
公共部分为 \(0 < x < 3\)，即 \(A \cap B = \{x \mid 0 < x < 3\}\)。
并集：\(A \cup B\) 取 \(A\) 和 \(B\) 的全部。
从 \(-1\) 到 \(5\)，即 \(A \cup B = \{x \mid -1 \leq x \leq 5\}\)。
补集：\(\complement_U A = \{x \mid x < -1 \text{ 或 } x \geq 3\}\)。
例题4：含参集合的运算
题目：已知集合 \(A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}\)，\(B = \{x \mid x^2 - ax + a - 1 = 0\}\)，若 \(A \cup B = A\)，求实数 \(a\) 的取值范围。
解答：
先求 \(A\)：\(x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0\)，所以 \(A = \{1, 2\}\)。
由 \(A \cup B = A\) 知 \(B \subseteq A\)，即 \(B\) 是 \(A\) 的子集。
\(B = \{x \mid x^2 - ax + a - 1 = 0\}\)，需要讨论 \(B\) 的情况：
情况一：\(B = \emptyset\)，即方程 \(x^2 - ax + a - 1 = 0\) 无实数根。
判别式 \(\Delta = a^2 - 4(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 < 0\)。
由于 \((a-2)^2 \geq 0\) 恒成立，所以 \(\Delta < 0\) 无解。即 \(B \neq \emptyset\)。
情况二：\(B = \{1\}\)，方程有且仅有根 \(x=1\)。
代入：\(1 - a + a - 1 = 0\) 恒成立。但还需保证 \(x=1\) 是重根，即判别式为 \(0\)：\((a-2)^2 = 0 \Rightarrow a = 2\)。
验证：\(a = 2\) 时，\(x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0\)，\(B = \{1\} \subseteq A\)，成立。
情况三：\(B = \{2\}\)，方程有且仅有根 \(x=2\)。
代入：\(4 - 2a + a - 1 = 0 \Rightarrow a = 3\)。
验证：\(a = 3\) 时，\(x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0\)，\(B = \{1, 2\} = A\)，不是 \(\{2\}\)。所以 \(a = 3\) 不满足 \(B = \{2\}\)。
但 \(B = \{1, 2\} = A \subseteq A\)，也满足条件。
情况四：\(B = \{1, 2\}\)，即方程的两根为 \(1\) 和 \(2\)。
由韦达定理：\(1 + 2 = a\) 且 \(1 \times 2 = a - 1\)。
\(a = 3\)，\(a - 1 = 2\)，\(1 \times 2 = 2\)，成立。所以 \(a = 3\)。
综合，\(a\) 的取值为 \(a = 2\) 或 \(a = 3\)。
1.6 练习题
基础题
用列举法表示以下集合：
- (1) \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}\)
- (2) \(B = \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}\)
- (3) \(C = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \leq 2\}\)
判断以下关系是否正确：
- (1) \(0 \in \mathbb{N}\)
- (2) \(\{1\} \in \{1, 2, 3\}\)
- (3) \(\emptyset \subseteq \{0\}\)
- (4) \(\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}\)
已知 \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)，\(B = \{2, 4, 6\}\)，求 \(A \cap B\) 和 \(A \cup B\)。
提高题
已知集合 \(A = \{x \mid x^2 - 2x - 3 = 0\}\)，\(B = \{x \mid ax - 1 = 0\}\)，若 \(B \subseteq A\)，求实数 \(a\) 的所有可能值。
设集合 \(A = \{x \mid 1 < x < 5\}\)，\(B = \{x \mid 2a \leq x \leq a+3\}\)，若 \(B \subseteq A\)，求实数 \(a\) 的取值范围。
设全集 \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)，\(A = \{1, 3, 5, 7\}\)，\(B = \{2, 3, 4, 5\}\)，求 \(\complement_U(A \cap B)\)，\((\complement_U A) \cup (\complement_U B)\)。
第二章 函数的概念与性质
2.1 函数的概念
2.1.1 函数的定义
设 \(A\)、\(B\) 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 \(f\)，使得对于集合 \(A\) 中的任意一个数 \(x\)，在集合 \(B\) 中都有唯一确定的数 \(f(x)\) 和它对应，那么就称 \(f: A \to B\) 为从集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的一个函数（function），记作：
\(y = f(x), \quad x \in A\)
其中：
- \(x\) 称为自变量
- \(x\) 的取值范围 \(A\) 称为函数的定义域（domain）
- 与 \(x\) 对应的值 \(f(x)\) 称为函数值
- 函数值的集合 \(\{f(x) \mid x \in A\}\) 称为函数的值域（range）
2.1.2 函数的两要素
一个函数由两个要素完全确定：
- 定义域：自变量 \(x\) 的取值范围
- 对应关系：\(x\) 到 \(f(x)\) 的对应法则
判断两个函数是否相同：当且仅当它们的定义域和对应关系都相同时，两个函数相同。
例如：\(f(x) = x\) 与 \(g(x) = \frac{x^2}{x}\) 不是同一个函数，因为 \(g(x)\) 的定义域不含 \(x=0\)。
2.1.3 定义域的求法
求函数定义域时，需要满足以下基本条件：
| 条件 | 说明 |
|---|---|
| 分母不为零 | \(\frac{1}{f(x)}\) 中要求 \(f(x) \neq 0\) |
| 偶次根号下非负 | \(\sqrt{f(x)}\) 中要求 \(f(x) \geq 0\) |
| 对数的真数为正 | \(\log_a f(x)\) 中要求 \(f(x) > 0\) |
| 零次幂的底数不为零 | \([f(x)]^0\) 中要求 \(f(x) \neq 0\) |
| 实际问题的约束 | 如长度为正、人数为正整数等 |
2.2 函数的表示方法
2.2.1 解析法
用数学表达式（公式）表示两个变量之间的函数关系。
例如：\(f(x) = 2x + 1\)，\(g(x) = x^2 - 3x + 2\)。
2.2.2 列表法
通过列出表格来表示对应关系。
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
2.2.3 图像法
在平面直角坐标系中，用曲线（或点集）来表示函数关系。
函数图像的重要特征：一个 \(x\) 值只能对应一个 \(y\) 值。因此，判断一条曲线是否是函数图像，可以使用垂线检验法——如果任意一条垂直于 \(x\) 轴的直线与曲线最多有一个交点，则该曲线是某个函数的图像。
2.2.4 分段函数
在定义域的不同部分，用不同的表达式来表示的函数称为分段函数。
例如：
\(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}\)
注意：分段函数是一个函数，不是多个函数。
2.3 函数的基本性质
2.3.1 奇偶性
定义：设函数 \(f(x)\) 的定义域关于原点对称。
- 若对任意 \(x\)，都有 \(f(-x) = f(x)\)，则 \(f(x)\) 为偶函数
- 若对任意 \(x\)，都有 \(f(-x) = -f(x)\)，则 \(f(x)\) 为奇函数
几何意义：
- 偶函数的图像关于 \(y\) 轴对称
- 奇函数的图像关于原点对称
常见结论：
- 若 \(f(x)\) 为奇函数且在 \(x=0\) 处有定义，则 \(f(0) = 0\)
- 常见奇函数：\(y = x\)，\(y = x^3\)，\(y = \sin x\)，\(y = \tan x\)
- 常见偶函数：\(y = x^2\)，\(y = |x|\)，\(y = \cos x\)
2.3.2 单调性
定义：设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(I\)，区间 \(D \subseteq I\)。
- 若对任意 \(x_1, x_2 \in D\)，当 \(x_1 < x_2\) 时，都有 \(f(x_1) < f(x_2)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上单调递增（增函数）
- 若对任意 \(x_1, x_2 \in D\)，当 \(x_1 < x_2\) 时，都有 \(f(x_1) > f(x_2)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上单调递减（减函数）
判断单调性的方法：
- 定义法：比较 \(f(x_1) - f(x_2)\) 的符号
- 图像法：观察图像的升降趋势
- 导数法（高二学习）：\(f'(x) > 0\) 为增函数，\(f'(x) < 0\) 为减函数
单调性的运算规律：
- 增函数 + 增函数 = 增函数
- 减函数 + 减函数 = 减函数
- 若 \(f(x)\) 为增函数，则 \(-f(x)\) 为减函数
2.3.3 最值
最大值：设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(I\)，若存在实数 \(M\) 满足：
- 对任意 \(x \in I\)，都有 \(f(x) \leq M\)
- 存在 \(x_0 \in I\)，使得 \(f(x_0) = M\)
则称 \(M\) 是 \(f(x)\) 的最大值。
最小值的定义类似，将不等号方向反过来。
2.4 函数章节总结
| 性质 | 定义要点 | 图像特征 | 判断方法 |
|---|---|---|---|
| 奇偶性 | \(f(-x) = \pm f(x)\)，定义域关于原点对称 | 奇函数关于原点对称，偶函数关于 \(y\) 轴对称 | 先验证定义域对称，再计算 \(f(-x)\) |
| 单调性 | \(x_1 < x_2\) 时 \(f(x_1)\) 与 \(f(x_2)\) 的大小关系 | 增函数上升，减函数下降 | 定义法、图像法 |
| 最值 | 存在 \(M\) 使得 \(f(x) \leq M\)（或 \(\geq M\)）且能取到 | 图像的最高点或最低点 | 配方法、单调性法 |
2.5 典型例题
例题1：求定义域
题目：求函数 \(f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2}\) 的定义域。
解答：
需同时满足：
- \(\sqrt{x+1}\) 中 \(x+1 \geq 0\)，即 \(x \geq -1\)
- 分母 \(x - 2 \neq 0\)，即 \(x \neq 2\)
取交集：定义域为 \([-1, 2) \cup (2, +\infty)\)。
例题2：判断奇偶性
题目：判断函数 \(f(x) = x^3 + x\) 的奇偶性。
解答：
定义域为 \(\mathbb{R}\)，关于原点对称。
\(f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)\)
所以 \(f(x)\) 是奇函数。
例题3：求单调区间
题目：求函数 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) 的单调递增区间和单调递减区间。
解答：
\(f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1\)
这是一个开口向上的抛物线，顶点为 \((2, -1)\)。
- 在 \((-\infty, 2)\) 上单调递减
- 在 \((2, +\infty)\) 上单调递增
例题4：分段函数
题目：已知 \(f(x) = \begin{cases} x+1, & x \leq 0 \\ x^2 - 1, & x > 0 \end{cases}\)，求 \(f(-2)\)，\(f(0)\)，\(f(3)\)。
解答：
- \(f(-2)\)：\(-2 \leq 0\)，用第一段，\(f(-2) = -2 + 1 = -1\)
- \(f(0)\)：\(0 \leq 0\)，用第一段，\(f(0) = 0 + 1 = 1\)
- \(f(3)\)：\(3 > 0\)，用第二段，\(f(3) = 9 - 1 = 8\)
2.6 练习题
基础题
求下列函数的定义域：
- (1) \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}\)
- (2) \(g(x) = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{3 - x}\)
- (3) \(h(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}\)
判断下列函数的奇偶性：
- (1) \(f(x) = x^4 + x^2\)
- (2) \(g(x) = x^3 - x\)
- (3) \(h(x) = 2x + 1\)
求函数 \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\) 的最大值及取得最大值时 \(x\) 的值。
提高题
已知 \(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\)，判断 \(f(x)\) 的奇偶性。
已知函数 \(f(x) = x^2 - 2ax + 1\) 在区间 \([1, +\infty)\) 上单调递增，求实数 \(a\) 的取值范围。
设 \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的奇函数，当 \(x > 0\) 时，\(f(x) = x^2 - 2x\)，求当 \(x < 0\) 时 \(f(x)\) 的表达式。
第三章 基本初等函数
3.1 指数与指数函数
3.1.1 指数的概念推广
整数指数幂：
\(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ 个}} \quad (n \in \mathbb{N}^*)\)
\(a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\)
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, n \in \mathbb{N}^*)\)
根式与分数指数幂：
\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad (n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2)\)
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \quad (a > 0)\)
指数运算法则（\(a > 0, b > 0\)，\(m, n \in \mathbb{R}\)）：
| 法则 | 公式 |
|---|---|
| 同底数幂相乘 | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) |
| 同底数幂相除 | \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) |
| 幂的乘方 | \((a^m)^n = a^{mn}\) |
| 积的乘方 | $(ab)n = an b^n |
3.1.2 指数函数
定义：形如 \(y = a^x\)（\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)）的函数称为指数函数。
指数函数的图像与性质：
| 性质 | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| 定义域 | \((-\infty, +\infty)\) | \((-\infty, +\infty)\) |
| 值域 | \((0, +\infty)\) | \((0, +\infty)\) |
| 过定点 | \((0, 1)\)，即 \(a^0 = 1\) | \((0, 1)\) |
| 单调性 | 在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增 | 在 \(\mathbb{R}\) 上单调递减 |
| 当 \(x > 0\) 时 | \(y > 1\) | \(0 < y < 1\) |
| 当 \(x < 0\) 时 | \(0 < y < 1\) | \(y > 1\) |
| 图像趋势 | \(x \to +\infty\) 时 \(y \to +\infty\)；\(x \to -\infty\) 时 \(y \to 0\) | \(x \to +\infty\) 时 \(y \to 0\)；\(x \to -\infty\) 时 \(y \to +\infty\) |
3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数的概念
定义：如果 \(a^b = N\)（\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)），那么 \(b\) 叫做以 \(a\) 为底 \(N\) 的对数，记作：
\(b = \log_a N\)
其中 \(a\) 为底数，\(N\) 为真数（\(N > 0\)）。
特殊情况：
- \(\log_a 1 = 0\)（因为 \(a^0 = 1\)）
- \(\log_a a = 1\)（因为 \(a^1 = a\)）
- \(\log_a a^n = n\)
常用对数与自然对数：
| 名称 | 符号 | 底数 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 常用对数 | \(\lg N\) | 10 | \(\lg N = \log_{10} N\) |
| 自然对数 | \(\ln N\) | \(e\)（\(\approx 2.718\)） | \(\ln N = \log_e N\) |
3.2.2 对数运算法则
设 \(a > 0\)，\(a \neq 1\)，\(M > 0\)，\(N > 0\)：
| 法则 | 公式 |
|---|---|
| 积的对数 | \(\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N\) |
| 商的对数 | \(\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\) |
| 幂的对数 | \(\log_a M^n = n \log_a M\) |
| 换底公式 | \(\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}\) |
| 倒数关系 | \(\log_a b \cdot \log_b a = 1\) |
3.2.3 对数函数
定义：形如 \(y = \log_a x\)（\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)）的函数称为对数函数。
对数函数的图像与性质：
| 性质 | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| 定义域 | \((0, +\infty)\) | \((0, +\infty)\) |
| 值域 | \((-\infty, +\infty)\) | \((-\infty, +\infty)\) |
| 过定点 | \((1, 0)\)，即 \(\log_a 1 = 0\) | \((1, 0)\) |
| 单调性 | 在 \((0, +\infty)\) 上单调递增 | 在 \((0, +\infty)\) 上单调递减 |
| 当 \(x > 1\) 时 | \(y > 0\) | \(y < 0\) |
| 当 \(0 < x < 1\) 时 | \(y < 0\) | \(y > 0\) |
指数函数与对数函数互为反函数：\(y = a^x\) 和 \(y = \log_a x\) 的图像关于直线 \(y = x\) 对称。
3.3 幂函数
3.3.1 幂函数的定义
形如 \(y = x^\alpha\)（\(\alpha\) 为常数）的函数称为幂函数。
常见的幂函数：
| 幂函数 | 定义域 | 奇偶性 | 单调性 |
|---|---|---|---|
| \(y = x\) | \(\mathbb{R}\) | 奇函数 | 在 \(\mathbb{R}\) 上递增 |
| \(y = x^2\) | \(\mathbb{R}\) | 偶函数 | 在 \([0,+\infty)\) 递增，在 \((-\infty,0]\) 递减 |
| \(y = x^3\) | \(\mathbb{R}\) | 奇函数 | 在 \(\mathbb{R}\) 上递增 |
| \(y = x^{-1}\)（即 \(\frac{1}{x}\)） | \(\{x \mid x \neq 0\}\) | 奇函数 | 在 \((-\infty,0)\) 和 \((0,+\infty)\) 各自递减 |
| \(y = x^{\frac{1}{2}}\)（即 \(\sqrt{x}\)） | \([0, +\infty)\) | 非奇非偶 | 在 \([0, +\infty)\) 递增 |
共同特点：
- 所有幂函数都过点 \((1, 1)\)
- 在第一象限内，\(\alpha > 0\) 时递增，\(\alpha < 0\) 时递减
3.4 基本初等函数章节总结
| 函数类型 | 一般形式 | 定义域 | 值域 | 过定点 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 指数函数 | \(y = a^x\)（\(a>0, a\neq1\)） | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | \((0,1)\) | \(a>1\) 增，\(0<a<1\) 减 |
| 对数函数 | \(y = \log_a x\)（\(a>0, a\neq1\)） | \((0,+\infty)\) | \(\mathbb{R}\) | \((1,0)\) | \(a>1\) 增，\(0<a<1\) 减 |
| 幂函数 | \(y = x^\alpha\) | 因 \(\alpha\) 而异 | 因 \(\alpha\) 而异 | \((1,1)\) | 因 \(\alpha\) 而异 |
指数函数与对数函数的关系：
\(y = a^x \iff x = \log_a y\)
两者互为反函数，图像关于 \(y = x\) 对称。
3.5 典型例题
例题1：指数运算
题目：化简 \(\frac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{2}}}{3^3 \cdot 81^{\frac{1}{4}}}\)。
解答：
将各数化为3的幂：
- \(27 = 3^3\)，\(27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\)
- \(9 = 3^2\)，\(9^{\frac{1}{2}} = (3^2)^{\frac{1}{2}} = 3\)
- \(3^3 = 27\)
- \(81 = 3^4\)，\(81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3\)
原式 \(= \frac{9 \times 3}{27 \times 3} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}\)
例题2：对数运算
题目：计算 \(\log_2 8 + \log_9 27 - \lg 0.01\)。
解答：
- \(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\)
- \(\log_9 27 = \frac{\lg 27}{\lg 9} = \frac{3\lg 3}{2\lg 3} = \frac{3}{2}\)
- \(\lg 0.01 = \lg 10^{-2} = -2\)
原式 \(= 3 + \frac{3}{2} - (-2) = 3 + 1.5 + 2 = 6.5 = \frac{13}{2}\)
例题3：比较大小
题目：比较 \(0.3^{0.5}\)，\(0.5^{0.3}\)，\(\log_{0.3} 0.5\) 的大小。
解答：
分析 \(0.3^{0.5}\)：底数 \(0 < 0.3 < 1\)，指数 \(0.5 > 0\)，所以 \(0 < 0.3^{0.5} < 1\)。
更精确：\(0.3^{0.5} = \sqrt{0.3} \approx 0.548\)。
分析 \(0.5^{0.3}\)：底数 \(0 < 0.5 < 1\)，指数 \(0.3 > 0\)，所以 \(0 < 0.5^{0.3} < 1\)。
更精确：\(0.5^{0.3} \approx 0.812\)。
分析 \(\log_{0.3} 0.5\)：底数 \(0 < 0.3 < 1\)，对数函数递减。\(0 < 0.5 < 1\)，所以 \(\log_{0.3} 0.5 > 0\)。
更精确：\(\log_{0.3} 0.5 = \frac{\ln 0.5}{\ln 0.3} = \frac{-0.693}{-1.204} \approx 0.576\)。
所以 \(0.3^{0.5} \approx 0.548 < \log_{0.3} 0.5 \approx 0.576 < 0.5^{0.3} \approx 0.812\)。
即 \(0.3^{0.5} < \log_{0.3} 0.5 < 0.5^{0.3}\)。
例题4：指数函数与对数函数的图像
题目：在同一坐标系中，画出 \(y = 2^x\)，\(y = \log_2 x\) 和 \(y = x\) 的图像，并说明它们的关系。
解答：
\(y = 2^x\) 和 \(y = \log_2 x\) 互为反函数，它们的图像关于直线 \(y = x\) 对称。
\(y = 2^x\) 过点 \((0, 1)\)，在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增。
\(y = \log_2 x\) 过点 \((1, 0)\)，在 \((0, +\infty)\) 上单调递增。
\(y = x\) 是这两条曲线的对称轴。
3.6 练习题
基础题
化简：
- (1) \(16^{\frac{3}{4}}\)
- (2) \((\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}\)
- (3) \(\sqrt[3]{(-8)^2}\)
计算：
- (1) \(\log_3 81\)
- (2) \(\log_2 \frac{1}{16}\)
- (3) \(\lg 1000 + \ln e^2\)
比较大小（不计算具体值）：
- (1) \(1.5^{3.1}\) 和 \(1.5^{2.7}\)
- (2) \(\log_2 3\) 和 \(\log_2 5\)
- (3) \(0.7^{-0.3}\) 和 \(0.7^{-0.5}\)
提高题
求函数 \(y = \log_2(x^2 - 4)\) 的定义域。
已知 \(\log_a \frac{1}{2} < 1\)，求 \(a\) 的取值范围。
若 \(f(x) = a^x\)（\(a > 0, a \neq 1\)）在 \([-1, 1]\) 上的最大值与最小值之差为 \(\frac{8}{3}\)，求 \(a\) 的值。
第四章 函数的应用
4.1 函数的零点
4.1.1 零点的定义
对于函数 \(y = f(x)\)，使得 \(f(x) = 0\) 的实数 \(x\) 叫做函数 \(y = f(x)\) 的零点。
几何意义：函数 \(y = f(x)\) 的零点就是函数图像与 \(x\) 轴交点的横坐标。
4.1.2 零点存在定理
定理：如果函数 \(y = f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)（即 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号），那么在区间 \((a, b)\) 内至少存在一个零点，即至少存在一点 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f(c) = 0\)。
注意事项：
- 定理的条件是充分不必要条件——有零点不一定满足 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)
- 定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数
- 要求函数在 \([a, b]\) 上连续
- 如果 \(f(a) \cdot f(b) > 0\)，不能断定没有零点（可能有偶数个零点）
4.1.3 求零点的方法
- 代数法：令 \(f(x) = 0\)，解方程
- 图像法：画出函数图像，找与 \(x\) 轴的交点
- 数值法（如二分法）：逐步逼近零点
4.2 二分法
4.2.1 二分法的思想
二分法是求方程近似解的一种方法。其基本思想是：将包含零点的区间一分为二，通过判断零点在哪一半区间，不断缩小搜索范围，直到满足精度要求。
4.2.2 二分法的步骤
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)。
- 取中点：计算中点 \(m = \frac{a+b}{2}\)
- 判断：
- 若 \(f(m) = 0\)，则 \(m\) 就是零点
- 若 \(f(a) \cdot f(m) < 0\)，则零点在 \((a, m)\) 中，令 \(b = m\)
- 若 \(f(m) \cdot f(b) < 0\)，则零点在 \((m, b)\) 中，令 \(a = m\)
- 重复：对新区间 \([a, b]\) 重复上述步骤
- 终止：当区间长度 \(|b - a|\) 小于给定的精度 \(\varepsilon\) 时，取区间中点作为零点的近似值
4.2.3 二分法的精度分析
每二分一次，区间长度减半。初始区间长度为 \(b - a\)，经过 \(n\) 次二分后，区间长度为 \(\frac{b-a}{2^n}\)。
若要求精度为 \(\varepsilon\)，即 \(\frac{b-a}{2^n} < \varepsilon\)，则 \(n > \log_2 \frac{b-a}{\varepsilon}\)。
4.3 函数模型的应用
4.3.1 常见函数模型
| 模型 | 函数形式 | 增长特点 | 应用场景 |
|---|---|---|---|
| 线性模型 | \(y = kx + b\) | 匀速增长 | 匀速运动、固定增长 |
| 二次函数模型 | \(y = ax^2 + bx + c\) | 先增后减或先减后增 | 抛物运动、利润最大 |
| 指数模型 | \(y = a \cdot b^x\)（\(b > 1\)） | 快速增长（爆炸式） | 细菌繁殖、复利 |
| 对数模型 | \(y = a \ln x + b\) | 先快后慢增长 | 地震震级、声音分贝 |
| 幂函数模型 | \(y = ax^n\) | 视 \(n\) 而定 | 面积与边长关系 |
4.3.2 函数建模的一般步骤
- 审题：理解问题背景，找出变量
- 建立模型：选择合适的函数类型，建立函数关系
- 求解：利用数学方法求解
- 检验：将结果代回实际问题验证
- 作答：用实际问题的语言作答
4.4 函数应用章节总结
| 知识点 | 核心内容 | 关键注意 |
|---|---|---|
| 零点定义 | 使 \(f(x) = 0\) 的 \(x\) 值 | 零点是数，不是点 |
| 零点存在定理 | \(f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow\) 至少一个零点 | 充分不必要条件 |
| 二分法 | 不断取中点缩小零点所在区间 | 要求 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号 |
| 函数建模 | 选择合适的函数描述实际问题 | 注意定义域的实际意义 |
4.5 典型例题
例题1：判断零点存在
题目：判断函数 \(f(x) = x^3 - 2x - 1\) 在区间 \((1, 2)\) 内是否有零点。
解答：
\(f(1) = 1 - 2 - 1 = -2 < 0\)
\(f(2) = 8 - 4 - 1 = 3 > 0\)
\(f(1) \cdot f(2) = -2 \times 3 = -6 < 0\)
由零点存在定理，\(f(x)\) 在区间 \((1, 2)\) 内至少有一个零点。
例题2：用二分法求近似解
题目：用二分法求方程 \(x^3 + x - 1 = 0\) 在区间 \((0, 1)\) 内的近似解（精确到 \(0.1\)）。
解答：
设 \(f(x) = x^3 + x - 1\)。
\(f(0) = -1 < 0\)，\(f(1) = 1 > 0\)，所以零点在 \((0, 1)\) 内。
第一步：取中点 \(x = 0.5\)，\(f(0.5) = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375 < 0\)。
零点在 \((0.5, 1)\)。
第二步：取中点 \(x = 0.75\)，\(f(0.75) = 0.421875 + 0.75 - 1 = 0.171875 > 0\)。
零点在 \((0.5, 0.75)\)。
第三步：取中点 \(x = 0.625\)，\(f(0.625) = 0.244140625 + 0.625 - 1 = -0.130859375 < 0\)。
零点在 \((0.625, 0.75)\)。
第四步：取中点 \(x = 0.6875\)，\(f(0.6875) = 0.3251953125 + 0.6875 - 1 = 0.0126953125 > 0\)。
零点在 \((0.625, 0.6875)\)。
区间长度 \(0.6875 - 0.625 = 0.0625 < 0.1\)。
取中点 \(x \approx 0.65625 \approx 0.7\)（精确到 \(0.1\)）。
方程的近似解为 \(x \approx 0.7\)。
例题3：函数模型应用
题目：某公司生产一种产品，固定成本为 \(2000\) 元，每件产品的可变成本为 \(50\) 元，售价为每件 \(100\) 元。求： (1) 利润 \(y\)（元）与产量 \(x\)（件）之间的函数关系； (2) 至少生产多少件才能盈利？
解答：
(1) 收入 = \(100x\)，成本 = \(2000 + 50x\)。
利润 \(y = 100x - (2000 + 50x) = 50x - 2000\)，其中 \(x \geq 0\) 且 \(x \in \mathbb{N}\)。
(2) 要盈利，需 \(y > 0\)，即 \(50x - 2000 > 0\)，解得 \(x > 40\)。
所以至少需要生产 \(41\) 件才能盈利。
4.6 练习题
基础题
求下列函数的零点：
- (1) \(f(x) = 3x - 6\)
- (2) \(g(x) = x^2 - 5x + 6\)
- (3) \(h(x) = 2^x - 8\)
判断函数 \(f(x) = \ln x + 2x - 6\) 在区间 \((1, 3)\) 内是否存在零点。（提示：\(\ln 1 = 0\)，\(\ln 3 \approx 1.1\)）
用二分法求方程 \(x^2 - 2 = 0\) 的正根的近似值（精确到 \(0.1\)）。
提高题
已知函数 \(f(x) = x^2 - (a+1)x + a\) 有两个零点，求实数 \(a\) 的取值范围。
某城市人口为 \(100\) 万，年增长率为 \(2\%\)，设 \(x\) 年后人口为 \(y\) 万。
- (1) 写出 \(y\) 与 \(x\) 的函数关系
- (2) 多少年后人口翻倍？（\(\lg 2 \approx 0.301\)，\(\lg 1.02 \approx 0.0086\)）
设 \(f(x) = e^x - x - 2\)（\(e \approx 2.718\)），利用零点存在定理判断 \(f(x)\) 在哪个区间内有零点，并用二分法求出精确到 \(0.5\) 的近似解。
综合练习及参考答案
综合练习
一、选择题
已知集合 \(A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\}\)，\(B = \{-1, 0, 1\}\)，则 $A \cap B = $（ ）
- \(\{-1\}\) B. \(\{1\}\) C. \(\{-1, 1\}\) D. \(\{-1, 0, 1\}\)
函数 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}\) 的定义域为（ ）
- \((1, +\infty)\) B. \([1, +\infty)\) C. \((-\infty, 1)\) D. \((-\infty, 1]\)
下列函数中，既是奇函数又在 \((0, +\infty)\) 上单调递增的是（ ）
- \(y = x^2\) B. \(y = x^3\) C. \(y = |x|\) D. \(y = 2^x\)
设 \(a = 2^{0.3}\)，\(b = 0.3^2\)，\(c = \log_2 0.3\)，则（ ）
- \(a > b > c\) B. \(b > a > c\) C. \(c > a > b\) D. \(a > c > b\)
函数 \(y = \log_3(x+1)\) 的图像过定点（ ）
- \((0, 1)\) B. \((1, 0)\) C. \((0, 0)\) D. \((1, 1)\)
方程 \(2^x + x = 4\) 的解所在的区间是（ ）
- \((0, 1)\) B. \((1, 2)\) C. \((2, 3)\) D. \((3, 4)\)
二、填空题
已知集合 \(A = \{1, 2, 3\}\)，则 \(A\) 的子集个数为 ________。
函数 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\) 在 \([0, 3]\) 上的最小值为 ________，最大值为 ________。
已知 \(\log_2 3 = a\)，\(\log_2 5 = b\)，则 $\log_2 15 = $ ________（用 \(a\)、\(b\) 表示）。
若函数 \(f(x) = a^x\)（\(a > 0, a \neq 1\)）过点 \((2, 9)\)，则 $a = $ ________。
三、解答题
已知全集 \(U = \mathbb{R}\)，集合 \(A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0\}\)，\(B = \{x \mid x > 2\}\)。
- (1) 求 \(A \cap B\)，\(A \cup B\)
- (2) 求 \(\complement_U A\)
已知函数 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 0 \\ 2x + 1, & x > 0 \end{cases}\)。
- (1) 求 \(f(-2)\)，\(f(0)\)，\(f(3)\)
- (2) 求 \(f(f(-1))\)
求函数 \(f(x) = \log_2(4 - x^2)\) 的定义域，并判断其奇偶性。
已知函数 \(f(x) = x - \frac{1}{x}\)。
- (1) 判断 \(f(x)\) 的奇偶性
- (2) 判断 \(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 上的单调性并证明
用二分法求方程 \(x^3 + 2x - 4 = 0\) 在区间 \((1, 2)\) 内的近似解（精确到 \(0.1\)）。
参考答案
第一章 集合 练习题答案
基础题
(1) \(A = \{0, 1, 2, 3, 4\}\) (2) \(B = \{2, 3\}\) (3) \(C = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\)
(1) 正确 (2) 错误（\(\{1\}\) 是子集关系，不是属于关系） (3) 正确 (4) 正确
\(A \cap B = \{2, 4\}\)，\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
提高题
\(A = \{-1, 3\}\)。\(B = \{x \mid ax = 1\}\)：
- 若 \(a = 0\)，\(B = \emptyset \subseteq A\)，成立
- 若 \(a \neq 0\)，\(B = \{\frac{1}{a}\}\)，需 \(\frac{1}{a} = -1\) 或 \(\frac{1}{a} = 3\)，即 \(a = -1\) 或 \(a = \frac{1}{3}\)
- 答案：\(a = 0, -1, \frac{1}{3}\)
需要 \(B = \emptyset\) 或 \(B \neq \emptyset\) 且 \(B \subseteq A\)：
- \(B = \emptyset\) 时：\(2a > a + 3\)，即 \(a > 3\)
- \(B \neq \emptyset\) 时：\(2a \leq a + 3\) 即 \(a \leq 3\)，且 \(1 \leq 2a\) 且 \(a + 3 \leq 5\)，即 \(a \geq \frac{1}{2}\) 且 \(a \leq 2\)。取交集：\(\frac{1}{2} \leq a \leq 2\)
- 综合：\(a \geq \frac{1}{2}\) 且 \(a \leq 2\)，或 \(a > 3\)，即 \(a \in [\frac{1}{2}, 2] \cup (3, +\infty)\)
\(A \cap B = \{3, 5\}\)，\(\complement_U(A \cap B) = \{1, 2, 4, 6, 7, 8\}\) \(\complement_U A = \{2, 4, 6, 8\}\)，\(\complement_U B = \{1, 6, 7, 8\}\) \((\complement_U A) \cup (\complement_U B) = \{1, 2, 4, 6, 7, 8\}\)（与德摩根律一致）
第二章 函数 练习题答案
基础题
(1) \(\{x \mid x \neq 2 \text{ 且 } x \neq -2\}\)，即 \((-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\) (2) 需 \(2x - 1 \geq 0\) 且 \(3 - x \geq 0\)，即 \([\frac{1}{2}, 3]\) (3) 需 \(x - 1 \geq 0\) 且 \(x - 3 \neq 0\)，即 \([1, 3) \cup (3, +\infty)\)
(1) \(f(-x) = x^4 + x^2 = f(x)\)，偶函数 (2) \(g(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)\)，奇函数 (3) \(h(-x) = -2x + 1 \neq h(x)\) 且 \(\neq -h(x)\)，非奇非偶
\(f(x) = -(x-1)^2 + 4\)，最大值为 \(4\)，在 \(x = 1\) 时取得
提高题
\(f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = -f(x)\)（当 \(x > 0\) 时），验证各情况后得 \(f(x)\) 为奇函数
对称轴 \(x = a\)，需 \(a \leq 1\)，所以 \(a\) 的取值范围为 \((-\infty, 1]\)
设 \(x < 0\)，则 \(-x > 0\)，\(f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x\)。由奇函数性质 \(f(-x) = -f(x)\)，得 \(f(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x\)
第三章 基本初等函数 练习题答案
基础题
(1) \(16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8\) (2) \((\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\) (3) \(\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4\)
(1) \(\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4\) (2) \(\log_2 \frac{1}{16} = \log_2 2^{-4} = -4\) (3) \(\lg 1000 + \ln e^2 = 3 + 2 = 5\)
(1) \(1.5^{3.1} > 1.5^{2.7}\)（底数 \(> 1\)，指数越大值越大） (2) \(\log_2 3 < \log_2 5\)（底数 \(> 1\)，真数越大值越大） (3) \(0.7^{-0.3} < 0.7^{-0.5}\)（底数 \(< 1\)，指数越大值越小，\(-0.3 > -0.5\)，所以 \(0.7^{-0.3} < 0.7^{-0.5}\)）
需 \(x^2 - 4 > 0\)，即 \((x-2)(x+2) > 0\)，得 \(x < -2\) 或 \(x > 2\)，定义域为 \((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\)
\(\log_a \frac{1}{2} < 1 = \log_a a\)：
- 若 \(a > 1\)，函数递增，\(\frac{1}{2} < a\)，即 \(a > 1\)
- 若 \(0 < a < 1\)，函数递减，\(\frac{1}{2} > a\)，即 \(0 < a < \frac{1}{2}\)
- 综合：\(a > 1\) 或 \(0 < a < \frac{1}{2}\)
若 \(a > 1\)，\(f(x)\) 在 \([-1, 1]\) 上递增，最大值 \(a\)，最小值 \(a^{-1}\)，\(a - \frac{1}{a} = \frac{8}{3}\)，解得 \(a = 3\)（舍去负值） 若 \(0 < a < 1\)，\(f(x)\) 递减，最大值 \(a^{-1}\)，最小值 \(a\)，\(\frac{1}{a} - a = \frac{8}{3}\)，解得 \(a = \frac{1}{3}\) 答案：\(a = 3\) 或 \(a = \frac{1}{3}\)
第四章 函数应用 练习题答案
基础题
(1) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 2\)，零点为 \(2\) (2) \(x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0\)，零点为 \(2\) 和 \(3\) (3) \(2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3\)，零点为 \(3\)
\(f(1) = 0 + 2 - 6 = -4 < 0\)，\(f(3) = \ln 3 + 6 - 6 = \ln 3 \approx 1.1 > 0\)，\(f(1) \cdot f(3) < 0\)，存在零点
\(f(x) = x^2 - 2\)，\(f(1) = -1 < 0\)，\(f(2) = 2 > 0\)。 取 \(x = 1.5\)：\(f(1.5) = 0.25 > 0\)，零点在 \((1, 1.5)\)。 取 \(x = 1.25\)：\(f(1.25) = -0.4375 < 0\)，零点在 \((1.25, 1.5)\)。 取 \(x = 1.375\)：\(f(1.375) = -0.109375 < 0\)，零点在 \((1.375, 1.5)\)。 取 \(x = 1.4375\)：\(f(1.4375) \approx 0.066 > 0\)，零点在 \((1.375, 1.4375)\)。 区间长度 \(< 0.1\)，近似解 \(x \approx 1.4\)
提高题
\(f(x) = (x-1)(x-a)\)，零点为 \(x = 1\) 和 \(x = a\)。需两个零点不等，即 \(a \neq 1\)
(1) \(y = 100 \times 1.02^x\) (2) \(200 = 100 \times 1.02^x\)，\(1.02^x = 2\)，\(x = \frac{\lg 2}{\lg 1.02} = \frac{0.301}{0.0086} \approx 35\) 年
\(f(0) = 1 - 0 - 2 = -1 < 0\)，\(f(1) = e - 1 - 2 = e - 3 \approx -0.28 < 0\)，\(f(2) = e^2 - 2 - 2 = e^2 - 4 \approx 3.39 > 0\)。 零点在 \((1, 2)\)。 取 \(x = 1.5\)：\(f(1.5) = e^{1.5} - 3.5 \approx 4.48 - 3.5 = 0.98 > 0\)，零点在 \((1, 1.5)\)。 区间长度 \(0.5\)，近似解 \(x \approx 1.3\)（取中点 \(1.25\)）。
综合练习参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 答案 | C | A | B | A | C | B |
解析：
- \(A = \{-1, 1\}\)，\(A \cap B = \{-1, 1\}\)
- 需 \(x - 1 > 0\)，即 \(x > 1\)
- \(y = x^3\) 是奇函数且在 \((0, +\infty)\) 递增
- \(a = 2^{0.3} \approx 1.23 > 1\)，\(b = 0.09 < 1\)，\(c = \log_2 0.3 < 0\)，所以 \(a > b > c\)
- \(\log_3(0+1) = \log_3 1 = 0\)，过点 \((0, 0)\)
- 设 \(g(x) = 2^x + x - 4\)，\(g(1) = -1 < 0\)，\(g(2) = 2 > 0\)，零点在 \((1, 2)\)
二、填空题
- \(2^3 = 8\)
- \(f(x) = (x-1)^2 + 2\)，最小值 \(f(1) = 2\)；\(f(0) = 3\)，\(f(3) = 6\)，最大值 \(6\)
- \(\log_2 15 = \log_2(3 \times 5) = a + b\)
- \(a^2 = 9\)，\(a = 3\)（\(a > 0\)）
三、解答题
(1) \(A = \{x \mid 1 \leq x \leq 3\}\)，\(A \cap B = \{x \mid 2 < x \leq 3\}\)，\(A \cup B = \{x \mid x \geq 1\}\) (2) \(\complement_U A = \{x \mid x < 1 \text{ 或 } x > 3\}\)
(1) \(f(-2) = 4 + 1 = 5\)，\(f(0) = 1\)，\(f(3) = 7\) (2) \(f(-1) = 1 + 1 = 2\)，\(f(2) = 5\)，所以 \(f(f(-1)) = 5\)
需 \(4 - x^2 > 0\)，即 \(-2 < x < 2\)，定义域 \((-2, 2)\)，关于原点对称。 \(f(-x) = \log_2(4 - x^2) = f(x)\)，为偶函数。
(1) 定义域 \(\{x \mid x \neq 0\}\)，关于原点对称。\(f(-x) = -x + \frac{1}{x} = -(x - \frac{1}{x}) = -f(x)\)，奇函数。 (2) 设 \(0 < x_1 < x_2\)，\(f(x_1) - f(x_2) = (x_1 - x_2) + (\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}) = (x_1 - x_2)(1 - \frac{1}{x_1 x_2})\)。 当 \(x_1, x_2 \in (0, 1)\) 时，\(x_1 x_2 < 1\)，\(1 - \frac{1}{x_1 x_2} < 0\)，\(x_1 - x_2 < 0\)，乘积 \(> 0\)，即 \(f(x_1) > f(x_2)\)，递减。 当 \(x_1, x_2 \in (1, +\infty)\) 时，\(x_1 x_2 > 1\)，\(1 - \frac{1}{x_1 x_2} > 0\)，\(x_1 - x_2 < 0\)，乘积 \(< 0\)，即 \(f(x_1) < f(x_2)\)，递增。 所以 \(f(x)\) 在 \((0, 1)\) 上递减，在 \((1, +\infty)\) 上递增。
\(f(x) = x^3 + 2x - 4\)，\(f(1) = -1 < 0\)，\(f(2) = 8 > 0\)。 \(f(1.5) = 3.375 + 3 - 4 = 2.375 > 0\)，零点在 \((1, 1.5)\)。 \(f(1.25) = 1.953 + 2.5 - 4 = 0.453 > 0\)，零点在 \((1, 1.25)\)。 \(f(1.125) = 1.424 + 2.25 - 4 = -0.326 < 0\)，零点在 \((1.125, 1.25)\)。 区间长度 \(0.125 < 0.2\)，近似解 \(x \approx 1.2\)。
学习建议：
- 集合部分要重视数形结合，善用数轴和韦恩图
- 函数性质要从定义出发，严格证明
- 指数和对数运算要熟记公式，勤加练习
- 零点问题要掌握零点存在定理的条件和二分法的步骤
- 多做综合题，培养分析问题和解决问题的能力
本教程由 AI 原创编写，内容仅供学习参考。
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