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内容简介
系统讲解高一下册数学核心内容，涵盖三角函数的图像与性质、平面向量的概念与运算、三角恒等变换、解三角形等。
高一数学下册教程——三角函数与向量
前言
本教程系统讲解高一下册数学的核心内容，包括三角函数的图像与性质、平面向量的概念与运算、三角恒等变换以及解三角形四大板块。这些内容是高中数学的重要基石，也是高考的高频考点。通过本教程的学习，你将建立起完整的知识体系，掌握解题方法与技巧。
第一章 三角函数的图像与性质
1.1 任意角与弧度制
1.1.1 任意角的概念
在初中阶段，我们接触的角度范围是 \(0°\) 到 \(360°\)。但在实际问题中，角度可以超出这个范围。我们规定：
- 正角：按逆时针方向旋转形成的角
- 负角：按顺时针方向旋转形成的角
- 零角：不做任何旋转形成的角
象限角：将角的顶点与坐标原点重合，始边与 \(x\) 轴正半轴重合，终边落在第几象限就称为第几象限角。若终边落在坐标轴上，则不属于任何象限。
1.1.2 弧度制
弧度是另一种度量角的方式。把长度等于半径的弧所对的圆心角称为 \(1\) 弧度的角，记作 \(1 \text{ rad}\)。
换算关系：
\(\pi \text{ rad} = 180°\)
\(1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°\)
\(1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.01745 \text{ rad}\)
弧长公式： \(l = |\alpha| \cdot r\)
扇形面积公式： \(S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} |\alpha| r^2\)
其中 \(\alpha\) 为圆心角的弧度数，\(r\) 为半径，\(l\) 为弧长。
1.1.3 终边相同的角
与角 \(\alpha\) 终边相同的所有角构成集合：
\(\{\beta \mid \beta = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
1.2 三角函数的定义
1.2.1 单位圆中的三角函数定义
设角 \(\alpha\) 的终边与单位圆交于点 \(P(x, y)\)，则：
\(\sin\alpha = y, \quad \cos\alpha = x, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)\)
1.2.2 三角函数值在各象限的符号
| 三角函数 | 第一象限 | 第二象限 | 第三象限 | 第四象限 |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\alpha\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\cos\alpha\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\tan\alpha\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
记忆口诀："一全正，二正弦，三正切，四余弦"——即各象限中为正值的三角函数。
1.2.3 同角三角函数的基本关系
平方关系：
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
商数关系：
\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
1.3 三角函数的诱导公式
诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。核心口诀："奇变偶不变，符号看象限"。
- "奇偶"指 \(\frac{\pi}{2}\) 的倍数
- "变"指函数名变化（\(\sin \leftrightarrow \cos\)）
- "符号看象限"指将 \(\alpha\) 视为锐角时原式的符号
常用诱导公式汇总：
| 公式 | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| \(2\pi + \alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) |
| \(\pi + \alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) |
| \(-\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(-\tan\alpha\) |
| \(\pi - \alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\tan\alpha\) |
| \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
| \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(-\cot\alpha\) |
1.4 三角函数的图像与性质
1.4.1 正弦函数 \(y = \sin x\) 的图像与性质
定义域： \(\mathbb{R}\)
值域： \([-1, 1]\)
周期： \(T = 2\pi\)
奇偶性： 奇函数，图像关于原点对称
单调性：
- 在 \(\left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]\) 上单调递增
- 在 \(\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]\) 上单调递减
关键点（五点作图法）： \(\left(0, 0\right)\)、\(\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\)、\(\left(\pi, 0\right)\)、\(\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)\)、\(\left(2\pi, 0\right)\)
1.4.2 余弦函数 \(y = \cos x\) 的图像与性质
定义域： \(\mathbb{R}\)
值域： \([-1, 1]\)
周期： \(T = 2\pi\)
奇偶性： 偶函数，图像关于 \(y\) 轴对称
单调性：
- 在 \([-\pi + 2k\pi, 2k\pi]\) 上单调递增
- 在 \([2k\pi, \pi + 2k\pi]\) 上单调递减
关键点（五点作图法）： \((0, 1)\)、\(\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)\)、\((\pi, -1)\)、\(\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)\)、\((2\pi, 1)\)
1.4.3 正切函数 \(y = \tan x\) 的图像与性质
定义域： \(\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
值域： \(\mathbb{R}\)
周期： \(T = \pi\)
奇偶性： 奇函数
单调性： 在每个连续区间 \(\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)\) 上单调递增
1.5 函数 \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\) 的图像
1.5.1 参数的意义
- \(A\)（振幅）：决定函数的最大值和最小值，最大值为 \(|A|\)，最小值为 \(-|A|\)
- \(\omega\)（角频率）：决定周期，\(T = \frac{2\pi}{|\omega|}\)
- \(\varphi\)（初相）：决定图像的左右平移
1.5.2 图像变换
从 \(y = \sin x\) 到 \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\) 的变换有两种路径：
路径一（先平移后伸缩）：
- 将 \(y = \sin x\) 向左平移 \(\varphi\) 个单位（\(\varphi > 0\)）→ \(y = \sin(x + \varphi)\)
- 将横坐标缩短为原来的 \(\frac{1}{\omega}\) → \(y = \sin(\omega x + \varphi)\)
- 将纵坐标变为原来的 \(A\) 倍 → \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)
路径二（先伸缩后平移）：
- 将横坐标缩短为原来的 \(\frac{1}{\omega}\) → \(y = \sin\omega x\)
- 向左平移 \(\frac{\varphi}{\omega}\) 个单位 → \(y = \sin(\omega x + \varphi)\)
- 将纵坐标变为原来的 \(A\) 倍 → \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)
注意：路径二中平移量变为 \(\frac{\varphi}{\omega}\)，这是学生常犯错误的地方。
1.6 典型例题
例题1： 求函数 \(y = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\) 的周期、最大值、最小值及单调递增区间。
解：
- 周期： \(T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{2} = \pi\)
- 最大值： \(y_{\max} = 2 \times 1 = 2\)，此时 \(2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)，即 \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\)
- 最小值： \(y_{\min} = 2 \times (-1) = -2\)，此时 \(2x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)，即 \(x = -\frac{\pi}{3} + k\pi\)
- 单调递增区间： 令 \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)，解得 \(-\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + k\pi\)，故单调递增区间为 \(\left[-\frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi\right]\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）
例题2： 已知 \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\)，\(\alpha\) 为第二象限角，求 \(\cos\alpha\) 和 \(\tan\alpha\)。
解：
由 \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)，得 \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)
因为 \(\alpha\) 在第二象限，\(\cos\alpha < 0\)，所以 \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\)
\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\)
1.7 练习题
- 将 \(300°\) 化为弧度。
- 求 \(\sin\frac{7\pi}{6}\) 的值。
- 已知 \(\cos\alpha = -\frac{1}{2}\)，且 \(\alpha \in [\pi, 2\pi]\)，求 \(\alpha\) 的值。
- 求函数 \(y = 3\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\) 的周期和振幅。
- 用五点作图法画出 \(y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\) 在一个周期内的图像（列出五个关键点）。
第二章 平面向量
2.1 向量的基本概念
2.1.1 向量的定义
既有大小又有方向的量称为向量（也叫矢量）。向量常用带箭头的有向线段表示，如 \(\overrightarrow{AB}\) 或 \(\vec{a}\)。
向量的模： 向量的大小称为向量的模，记作 \(|\overrightarrow{AB}|\) 或 \(|\vec{a}|\)。
特殊向量：
- 零向量 \(\vec{0}\)：模为 \(0\) 的向量，方向任意
- 单位向量：模为 \(1\) 的向量
2.1.2 向量的关系
- 相等向量： 大小相等且方向相同的向量
- 相反向量： 大小相等但方向相反的向量
- 平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量。规定零向量与任意向量平行
注意：平行向量不要求在同一直线上，可以平移到同一直线上。
2.2 向量的线性运算
2.2.1 向量的加法
三角形法则： 将向量首尾相接，从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
平行四边形法则： 将两个向量的起点重合，以这两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为和向量。
运算律：
- 交换律：\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)
- 结合律：\((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)
2.2.2 向量的减法
\(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)
几何意义：\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)（共起点，指向被减向量）
2.2.3 向量的数乘
实数 \(\lambda\) 与向量 \(\vec{a}\) 的积 \(\lambda\vec{a}\) 满足：
- \(|\lambda\vec{a}| = |\lambda| \cdot |\vec{a}|\)
- 当 \(\lambda > 0\) 时，\(\lambda\vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 同向
- 当 \(\lambda < 0\) 时，\(\lambda\vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 反向
- 当 \(\lambda = 0\) 时，\(\lambda\vec{a} = \vec{0}\)
运算律：
- \(\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}\)
- \((\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}\)
- \(\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}\)
2.2.4 向量共线定理
向量 \(\vec{b}\) 与非零向量 \(\vec{a}\) 共线的充要条件是：存在唯一的实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec{b} = \lambda\vec{a}\)。
2.3 平面向量的坐标运算
2.3.1 向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设 \(\vec{i}\)、\(\vec{j}\) 分别为 \(x\) 轴、\(y\) 轴方向的单位向量，若 \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}\)，则 \(\vec{a} = (x, y)\)。
设 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\)，\(\vec{b} = (b_1, b_2)\)，则：
- 加法： \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\)
- 减法： \(\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)\)
- 数乘： \(\lambda\vec{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2)\)
- 模： \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)
2.3.2 中点坐标公式与重心坐标公式
中点坐标公式： 若 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则中点 \(M\) 的坐标为：
\(M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
重心坐标公式： 若 \(\triangle ABC\) 三个顶点坐标为 \(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)、\(C(x_3, y_3)\)，则重心 \(G\) 的坐标为：
\(G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 数量积的定义
两个非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的数量积（点积）定义为：
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta\)
其中 \(\theta\) 是 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的夹角，\(\theta \in [0, \pi]\)。
2.4.2 数量积的性质
- \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)
- \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)
- \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\)
垂直条件： \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)（\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 为非零向量）
2.4.3 数量积的坐标运算
设 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\)，\(\vec{b} = (b_1, b_2)\)，则：
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\)
垂直的坐标表示： \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0\)
2.4.4 数量积的运算律
- 交换律：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
- 分配律：\((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\)
- \(\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda\vec{b})\)
注意：数量积不满足结合律，即 \((\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} \neq \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})\)，因为 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 是一个实数，不能与向量做数量积。
2.5 平面向量的应用
2.5.1 向量在几何中的应用
证明平行： \(\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0\)
证明垂直： \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0\)
求夹角： \(\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\)
求距离： \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
2.6 典型例题
例题3： 已知 \(\vec{a} = (2, -1)\)，\(\vec{b} = (3, 4)\)，求 \(\vec{a} + \vec{b}\)、\(2\vec{a} - 3\vec{b}\)、\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 以及 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角。
解：
- \(\vec{a} + \vec{b} = (2+3, -1+4) = (5, 3)\)
- \(2\vec{a} - 3\vec{b} = (4, -2) - (9, 12) = (-5, -14)\)
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 + (-1) \times 4 = 6 - 4 = 2\)
- \(|\vec{a}| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}\)，\(|\vec{b}| = \sqrt{9+16} = 5\)
- \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25}\)
- \(\theta = \arccos\frac{2\sqrt{5}}{25}\)
例题4： 已知 \(\vec{a} = (1, 2)\)，\(\vec{b} = (x, -4)\)，且 \(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，求 \(x\) 的值。
解：
由 \(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，得 \(1 \times (-4) - 2 \times x = 0\)
解得 \(x = -2\)
例题5： 设 \(A(1, 2)\)，\(B(3, 4)\)，\(C(-1, 6)\)，求证 \(\triangle ABC\) 是直角三角形。
解：
\(\overrightarrow{AB} = (2, 2)\)，\(\overrightarrow{AC} = (-2, 4)\)，\(\overrightarrow{BC} = (-4, 2)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times (-2) + 2 \times 4 = -4 + 8 = 4 \neq 0\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \times (-4) + 2 \times 2 = -8 + 4 = -4 \neq 0\)
\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2) \times (-4) + 4 \times 2 = 8 + 8 = 16 \neq 0\)
等等，让我重新检查……实际上 \(\overrightarrow{BA} = (-2, -2)\)，\(\overrightarrow{BC} = (-4, 2)\)
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(-4) + (-2)(2) = 8 - 4 = 4 \neq 0\)
让我重新选择顶点计算。\(\overrightarrow{CA} = (2, -4)\)，\(\overrightarrow{CB} = (4, -2)\)
\(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 2 \times 4 + (-4) \times (-2) = 8 + 8 = 16 \neq 0\)
看起来这个三角形不是直角三角形。让我重新设计例题。
例题5（修正）： 设 \(A(0, 0)\)，\(B(4, 0)\)，\(C(0, 3)\)，求证 \(\triangle ABC\) 是直角三角形。
解：
\(\overrightarrow{AB} = (4, 0)\)，\(\overrightarrow{AC} = (0, 3)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 0 + 0 \times 3 = 0\)
因为 \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\)，所以 \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}\)，即 \(\angle A = 90°\)。
因此 \(\triangle ABC\) 是直角三角形。
2.7 练习题
- 已知 \(\vec{a} = (3, -2)\)，\(\vec{b} = (-1, 5)\)，求 \(\vec{a} + \vec{b}\)、\(\vec{a} - 2\vec{b}\)、\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)。
- 已知 \(\vec{a} = (2, k)\)，\(\vec{b} = (6, -3)\)，且 \(\vec{a} \perp \vec{b}\)，求 \(k\) 的值。
- 已知 \(|\vec{a}| = 3\)，\(|\vec{b}| = 4\)，\(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为 \(60°\)，求 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)。
- 已知 \(\vec{a} = (1, \sqrt{3})\)，求 \(|\vec{a}|\) 以及 \(\vec{a}\) 与 \(x\) 轴正方向的夹角。
- 设 \(A(1, 0)\)，\(B(0, 1)\)，\(C(-1, 0)\)，\(D(0, -1)\)，判断四边形 \(ABCD\) 的形状。
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切
3.1.1 两角和与差的余弦公式
\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)
这是三角恒等变换的基础公式，其他公式均可由此推导。
3.1.2 两角和与差的正弦公式
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\)
3.1.3 两角和与差的正切公式
\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\)
\(\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\)
使用条件：\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\alpha \pm \beta\) 的正切值均存在。
3.2 二倍角公式
令 \(\beta = \alpha\)，代入两角和公式即可得到二倍角公式。
3.2.1 二倍角的正弦
\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)
3.2.2 二倍角的余弦
\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha\)
3.2.3 二倍角的正切
\(\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)
3.2.4 半角公式（由二倍角余弦公式推导）
\(\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}, \quad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}\)
\(\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\)
3.3 辅助角公式
\(a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\alpha + \varphi)\)
其中 \(\tan\varphi = \frac{b}{a}\)（\(\varphi\) 的象限由 \(a\)、\(b\) 的符号决定）。
应用：辅助角公式可以将三角函数的和差化为一个三角函数，便于求最值和单调区间。
3.4 积化和差与和差化积
3.4.1 积化和差公式
\(\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]\)
\(\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)]\)
\(\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]\)
\(\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]\)
3.4.2 和差化积公式
\(\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
3.5 公式关系总结表
| 公式类别 | 公式名称 | 核心公式 |
|---|---|---|
| 和差公式 | 两角和差的正弦 | \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\) |
| 和差公式 | 两角和差的余弦 | \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\) |
| 和差公式 | 两角和差的正切 | \(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}\) |
| 倍角公式 | 二倍角正弦 | \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) |
| 倍角公式 | 二倍角余弦 | \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha\) |
| 倍角公式 | 二倍角正切 | \(\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\) |
| 变换公式 | 辅助角公式 | \(a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)\) |
3.6 典型例题
例题6： 求 \(\sin 75°\) 的值。
解：
\(\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°\)
\(= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
例题7： 已知 \(\tan\alpha = 2\)，求 \(\tan 2\alpha\) 和 \(\sin 2\alpha\) 的值。
解：
\(\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2 \times 2}{1 - 4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}\)
由 \(\tan\alpha = 2\)，知 \(\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\)（假设 \(\alpha\) 在第一象限）
\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}\)
例题8： 化简 \(\sin 50°(1 + \sqrt{3}\tan 10°)\)。
解：
\(\sin 50°(1 + \sqrt{3}\tan 10°) = \sin 50° \cdot \frac{\cos 10° + \sqrt{3}\sin 10°}{\cos 10°}\)
\(= \sin 50° \cdot \frac{2(\frac{1}{2}\cos 10° + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10°)}{\cos 10°}\)
\(= \sin 50° \cdot \frac{2\sin(10° + 30°)}{\cos 10°} = \sin 50° \cdot \frac{2\sin 40°}{\cos 10°}\)
\(= \frac{2\sin 50°\cos 50°}{\cos 10°} = \frac{\sin 100°}{\cos 10°} = \frac{\cos 10°}{\cos 10°} = 1\)
例题9： 求函数 \(f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x\) 的最大值及取得最大值时 \(x\) 的值。
解：
\(f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\)
\(= 2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\)
当 \(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1\) 时，\(f(x)\) 取最大值 \(2\)。
此时 \(x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)，即 \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。
3.7 练习题
- 求 \(\cos 15°\) 的值。
- 求 \(\tan 15°\) 的值。
- 已知 \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\)，\(\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})\)，求 \(\sin 2\alpha\) 和 \(\cos 2\alpha\) 的值。
- 化简 \(\cos^2 15° - \sin^2 15°\)。
- 求函数 \(f(x) = \sin x - \cos x\) 的最小正周期和最大值。
第四章 解三角形
4.1 正弦定理
4.1.1 定理内容
在 \(\triangle ABC\) 中，三个内角 \(A\)、\(B\)、\(C\) 所对的边分别为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，则：
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)
其中 \(R\) 为三角形外接圆的半径。
4.1.2 正弦定理的变形
\(a = 2R\sin A, \quad b = 2R\sin B, \quad c = 2R\sin C\)
\(\sin A = \frac{a}{2R}, \quad \sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R}\)
4.1.3 正弦定理的应用
适用情境：
- 已知两角和一边，求其他边角
- 已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有两解、一解或无解）
4.2 余弦定理
4.2.1 定理内容
在 \(\triangle ABC\) 中：
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)
4.2.2 余弦定理的推论
\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)
\(\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)
\(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)
4.2.3 余弦定理的应用
适用情境：
- 已知三边，求角
- 已知两边及其夹角，求第三边
4.3 三角形面积公式
4.3.1 基本面积公式
\(S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c\)
其中 \(h_a\)、\(h_b\)、\(h_c\) 分别为对应边上的高。
4.3.2 利用两边夹角求面积
\(S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)
4.3.3 利用正弦定理表示面积
\(S_{\triangle} = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2\sin A} = \frac{b^2 \sin A \sin C}{2\sin B} = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2\sin C}\)
4.4 解三角形的常见题型
4.4.1 已知两边及一边的对角（SSA型）
这是最需要小心的类型。设已知 \(a\)、\(b\) 和角 \(A\)：
由正弦定理 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\)，得 \(\sin B = \frac{b\sin A}{a}\)
判断解的个数：
| 条件 | \(A\) 为锐角 | \(A\) 为直角或钝角 |
|---|---|---|
| \(a < b\sin A\) | 无解 | 无解 |
| \(a = b\sin A\) | 一解（直角） | 无解 |
| \(b\sin A < a < b\) | 两解 | 无解 |
| \(a \geq b\) | 一解 | 一解 |
4.5 解三角形的实际应用
解三角形在实际生活中有广泛应用，如测量距离、高度、航海问题等。
解题步骤：
- 根据题意画出示意图
- 将实际问题转化为解三角形问题
- 选择合适的定理（正弦定理或余弦定理）求解
- 检验答案是否符合实际
4.6 典型例题
例题10： 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 8\)，\(B = 60°\)，\(C = 75°\)，求 \(b\) 和 \(c\)。
解：
\(A = 180° - 60° - 75° = 45°\)
由正弦定理 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)：
\(\frac{8}{\sin 45°} = \frac{b}{\sin 60°} = \frac{c}{\sin 75°}\)
\(b = \frac{8\sin 60°}{\sin 45°} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}\)
\(c = \frac{8\sin 75°}{\sin 45°} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 4(\sqrt{3}+1)\)
例题11： 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 7\)，\(b = 8\)，\(C = 60°\)，求 \(c\) 和 \(\triangle ABC\) 的面积。
解：
由余弦定理：
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 49 + 64 - 2 \times 7 \times 8 \times \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57\)
\(c = \sqrt{57}\)
三角形面积：
\(S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 7 \times 8 \times \sin 60° = 28 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}\)
例题12： 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 6\)，\(b = 4\)，\(A = 60°\)，判断三角形解的个数并求解。
解：
\(\sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{4\sin 60°}{6} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
因为 \(\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 < 1\)，且 \(a > b\)（\(6 > 4\)），所以只有一解。
\(B = \arcsin\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 35.3°\)
\(C = 180° - 60° - 35.3° = 84.7°\)
\(c = \frac{a\sin C}{\sin A} = \frac{6\sin 84.7°}{\sin 60°} = \frac{6 \times 0.9958}{0.8660} \approx 6.90\)
例题13： 如图，为了测量河对岸两点 \(A\)、\(B\) 之间的距离，在河岸这一侧选取点 \(C\)，测得 \(BC = 100\) 米，\(\angle ACB = 60°\)，\(\angle BCA\) 不便直接测量，但在 \(C\) 点测得 \(\angle CAB = 45°\)，求 \(AB\) 的距离。
解：
在 \(\triangle ABC\) 中，\(C\) 处角为 \(60°\)，\(A\) 处角为 \(45°\)
\(B = 180° - 60° - 45° = 75°\)
由正弦定理：
\(\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}\)
\(AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{100\sin 60°}{\sin 45°} = \frac{100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{6} \approx 122.5 \text{ 米}\)
4.7 练习题
- 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 5\)，\(b = 7\)，\(C = 120°\)，求 \(c\)。
- 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 6\)，\(A = 30°\)，\(B = 45°\)，求 \(b\)。
- 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(C = 90°\)，求 \(\triangle ABC\) 的面积和外接圆半径 \(R\)。
- 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 10\)，\(b = 6\)，\(A = 30°\)，判断解的个数并求出所有可能的解。
- 一艘船从 \(A\) 港出发，向北偏东 \(30°\) 方向航行 \(40\) 海里到达 \(B\) 处，然后从 \(B\) 处向北偏西 \(60°\) 方向航行 \(30\) 海里到达 \(C\) 处，求 \(A\)、\(C\) 之间的距离。
第五章 综合练习
综合练习一（三角函数部分）
将 \(-225°\) 化为弧度，并判断它是第几象限角。
求值：\(\sin\frac{11\pi}{6} + \cos\frac{5\pi}{3} - \tan\frac{7\pi}{4}\)。
已知 \(\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}\)，求 \(\sin\alpha\cos\alpha\) 的值。
求函数 \(y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\) 的周期、振幅、初相，并指出其图像可由 \(y = \sin x\) 的图像经过怎样的变换得到。
已知 \(\cos\alpha = \frac{1}{7}\)，\(\cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{14}\)，\(0 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}\)，求 \(\beta\) 的值。
综合练习二（向量部分）
已知 \(\vec{a} = (1, 0)\)，\(\vec{b} = (1, 1)\)，\(\vec{c} = (-1, 0)\)，求 \((\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot \vec{c}\)。
已知 \(|\vec{a}| = 2\)，\(|\vec{b}| = 3\)，\(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为 \(120°\)，求 \(|2\vec{a} + \vec{b}|\)。
已知 \(A(2, 1)\)，\(B(3, -1)\)，\(C(-1, 2)\)，\(D(x, y)\)，若 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)，求 \(D\) 的坐标。
已知 \(\vec{a} = (3, -4)\)，求与 \(\vec{a}\) 同方向的单位向量。
设 \(\vec{e_1}\)、\(\vec{e_2}\) 是两个不共线的向量，\(\vec{a} = 2\vec{e_1} + k\vec{e_2}\)，\(\vec{b} = \vec{e_1} - 3\vec{e_2}\)，若 \(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，求 \(k\) 的值。
综合练习三（三角恒等变换与解三角形部分）
求 \(\cos 105°\) 的值。
已知 \(\tan\alpha = 3\)，求 \(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}\) 的值。
化简：\(\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\)。
在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 2\sqrt{3}\)，\(b = 2\)，\(A = 60°\)，求 \(B\) 和 \(C\)。
在 \(\triangle ABC\) 中，\(a = 5\)，\(b = 4\)，\(\cos C = \frac{3}{5}\)，求 \(\triangle ABC\) 的面积。
第六章 综合练习参考答案
综合练习一参考答案
第1题：
\(-225° = -225° \times \frac{\pi}{180°} = -\frac{5\pi}{4}\)
终边在第二象限。
第2题：
\(\sin\frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}, \quad \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \tan\frac{7\pi}{4} = -1\)
\(\text{原式} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-1) = 1\)
第3题：
两边平方：\((\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \frac{1}{25}\)
\(\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{25}\)
\(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25}\)
\(\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{25} - 1\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{12}{25}\)
第4题：
- 周期： \(T = \frac{2\pi}{2} = \pi\)
- 振幅： \(A = 2\)
- 初相： 令 \(2x - \frac{\pi}{3} = 0\)，得 \(x = \frac{\pi}{6}\)，初相为 \(-\frac{\pi}{3}\)
变换步骤：
- 将 \(y = \sin x\) 的图像向右平移 \(\frac{\pi}{3}\) 个单位，得 \(y = \sin(x - \frac{\pi}{3})\)
- 将横坐标缩短为原来的 \(\frac{1}{2}\)，得 \(y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})\)
- 将纵坐标变为原来的 \(2\) 倍，得 \(y = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})\)
第5题：
由 \(0 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}\)，得 \(0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}\)
\(\cos\alpha = \frac{1}{7}，\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}\)
\(\cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{14}，\sin(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - \frac{169}{196}} = \frac{3\sqrt{3}}{14}\)
\(\cos\beta = \cos[\alpha - (\alpha - \beta)] = \cos\alpha\cos(\alpha - \beta) + \sin\alpha\sin(\alpha - \beta)\)
\(= \frac{1}{7} \cdot \frac{13}{14} + \frac{4\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{14} = \frac{13}{98} + \frac{36}{98} = \frac{49}{98} = \frac{1}{2}\)
\(\beta = \frac{\pi}{3}\)
综合练习二参考答案
第6题：
\(\vec{a} + 2\vec{b} = (1, 0) + (2, 2) = (3, 2)\)
\((\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot \vec{c} = 3 \times (-1) + 2 \times 0 = -3\)
第7题：
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 120° = 2 \times 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\)
\(|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\)
\(= 4 \times 4 + 4 \times (-3) + 9 = 16 - 12 + 9 = 13\)
\(|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}\)
第8题：
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, -1-1) = (1, -2)\)
\(\overrightarrow{CD} = D - C = (x+1, y-2)\)
由 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)：
\(x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)
\(y - 2 = -2 \Rightarrow y = 0\)
\(D(0, 0)\)
第9题：
\(|\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5\)
与 \(\vec{a}\) 同方向的单位向量为：
\(\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)\)
第10题：
\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，则 \(2 \times (-3) - k \times 1 = 0\)
解得 \(k = -6\)
综合练习三参考答案
第11题：
\(\cos 105° = \cos(60° + 45°) = \cos 60°\cos 45° - \sin 60°\sin 45°\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\)
第12题：
\(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\)
第13题：
\(\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha\)
第14题：
由正弦定理：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\)
\(\sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{2\sin 60°}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\)
因为 \(b < a\)，所以 \(B < A\)，\(B = 30°\)
\(C = 180° - 60° - 30° = 90°\)
第15题：
由 \(\cos C = \frac{3}{5}\)，得 \(\sin C = \frac{4}{5}\)
\(S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{4}{5} = 8\)
附录：常用特殊角三角函数值表
| 角度 | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 弧度 | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
| \(\sin\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\tan\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | 不存在 |
学习建议
理解为主，记忆为辅：三角函数公式众多，但核心公式只有几个，其余均可由核心公式推导。理解推导过程比死记硬背更有效。
多画图：三角函数的图像、向量的运算、解三角形等问题，画图是理解的关键。养成画图的习惯，能帮助你更直观地分析问题。
分类总结：将题型分类整理，如"已知什么、求什么"对应什么方法，形成自己的解题模板。
注意易错点：
- 辅助角公式中 \(\varphi\) 的象限判断
- 解三角形中 SSA 型问题的多解判断
- 向量平行与垂直条件的坐标公式不要混淆
- 三角函数图像变换中平移量与伸缩量的先后顺序
勤加练习：数学学习离不开大量练习。建议每天做 3-5 道题，保持手感，逐步提高解题速度和准确率。
本教程到此结束。希望同学们通过系统学习和反复练习，能够扎实掌握三角函数与向量的核心知识，为后续学习打下坚实基础。祝学习进步！
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