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内容简介
系统讲解高一下册物理核心内容，涵盖曲线运动、抛体运动、圆周运动、万有引力与航天等，衔接力学与天体物理。
高一物理下册教程——曲线运动与万有引力
适用年级：高一下学期 | 科目：物理 | 难度：中等偏上
本教程系统讲解高一下册物理核心内容，涵盖曲线运动的基本概念、抛体运动、圆周运动、万有引力定律与航天等重要知识，帮助同学们从力学基础过渡到天体物理的学习。
目录
第一章 曲线运动的基本概念
1.1 什么是曲线运动
物体运动的轨迹是一条曲线，这样的运动称为曲线运动。生活中处处可见曲线运动的例子：投出的篮球在空中的运动轨迹、汽车在弯道上行驶、地球绕太阳的公转等，都是曲线运动。
曲线运动与直线运动的根本区别在于：曲线运动的速度方向时刻在变化。虽然速度大小可能不变，但方向的变化意味着速度矢量在变化，因此曲线运动一定是变速运动。
1.2 曲线运动的速度方向
核心结论：做曲线运动的物体，在某一位置的瞬时速度方向，沿该点轨迹的切线方向。
这个结论在生活中很容易验证：
- 雨天转动雨伞，水滴沿切线方向飞出
- 砂轮打磨金属时，火花沿切线方向飞溅
- 链球运动员松手后，链球沿切线方向飞出
重要推论：物体做曲线运动时，速度方向时刻在改变，因此曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度。
1.3 物体做曲线运动的条件
核心条件：当物体所受合外力的方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
具体分析：
- 合力方向与速度方向同向：加速直线运动
- 合力方向与速度方向反向：减速直线运动
- 合力方向与速度方向有夹角：曲线运动
注意：
- 合力可以是恒力（如平抛运动中的重力），也可以是变力
- 合力方向不一定指向曲线的凹侧，但加速度方向一定指向凹侧
- 做曲线运动的物体，其速度方向与合力方向的夹角不断变化
1.4 曲线运动的分类
根据受力特点，曲线运动可以分为：
- 匀变速曲线运动：合外力恒定（大小方向都不变），如平抛运动、斜抛运动
- 非匀变速曲线运动：合外力变化，如匀速圆周运动（力大小不变但方向变）、行星运动（力的大小方向都变）
第二章 运动的合成与分解
2.1 运动合成与分解的思想
运动的合成与分解是处理复杂运动的重要方法。其基本思想是：一个复杂的运动可以看作几个简单运动的叠加；反之，几个简单的运动也可以合成为一个复杂运动。
核心原则：运动的合成与分解遵循平行四边形定则（或三角形定则），与力的合成与分解方法完全一致。
2.2 合运动与分运动的关系
合运动与分运动具有以下重要关系：
- 等时性：合运动与各分运动经历的时间相等
- 独立性：各分运动独立进行，互不影响
- 等效性：合运动与分运动的效果相同
2.3 运动合成的类型
设两个分运动分别为 \(v_1\) 和 \(v_2\)，夹角为 \(\theta\)：
（1）同一直线上（\(\theta = 0°\) 或 \(\theta = 180°\)）：
- 同向：\(v = v_1 + v_2\)
- 反向：\(v = |v_1 - v_2|\)
（2）互相垂直（\(\theta = 90°\)）：
- 合速度大小：\(v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)
- 合速度方向与 \(v_1\) 的夹角 \(\alpha\)：\(\tan\alpha = \dfrac{v_2}{v_1}\)
（3）一般情况（夹角为 \(\theta\)）：
- 合速度大小：\(v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\theta}\)
2.4 运动分解的方法
分解运动的关键在于选择合适的分运动方向。通常的策略是：
- 沿受力方向和垂直受力方向分解
- 沿运动方向和垂直运动方向分解
- 根据问题需要，选择最便于求解的分解方式
典型例题1：小船过河问题
一条河流宽 \(d = 200\text{ m}\)，水流速度 \(v_水 = 3\text{ m/s}\)，船在静水中的速度 \(v_船 = 5\text{ m/s}\)。 （1）若要使船以最短时间过河，船头应指向何方？过河时间是多少？ （2）若要使船以最短位移过河，船头应指向何方？过河时间是多少？
解答：
（1）最短时间过河：
船头应垂直指向对岸。因为过河时间 \(t = \dfrac{d}{v_船\cos\alpha}\)（\(\alpha\) 为船速与河岸垂直方向的夹角），当 \(\alpha = 0°\) 时时间最短。
\(t_{min} = \frac{d}{v_船} = \frac{200}{5} = 40\text{ s}\)
此时船沿河岸的位移为：\(s = v_水 \cdot t = 3 \times 40 = 120\text{ m}\)（到达对岸下游120 m处）
（2）最短位移过河：
最短位移就是河宽 \(d\)，要求船能垂直到达对岸。由于 \(v_船 > v_水\)，可以实现。
设船头偏向上游与河岸垂直方向夹角为 \(\theta\)，则需要：\(v_船\sin\theta = v_水\)
\(\sin\theta = \frac{v_水}{v_船} = \frac{3}{5} = 0.6\)
\(\theta = 37°\)
船沿垂直河岸方向的分速度为：\(v_\perp = v_船\cos\theta = 5 \times 0.8 = 4\text{ m/s}\)
过河时间：\(t = \dfrac{d}{v_\perp} = \dfrac{200}{4} = 50\text{ s}\)
第三章 抛体运动
3.1 平抛运动
定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体仅在重力作用下的运动，称为平抛运动。
运动特点：
- 初速度水平：\(v_0\) 沿水平方向
- 只受重力（忽略空气阻力）
- 加速度恒为 \(g\)，方向竖直向下
- 轨迹是一条抛物线
分析方法——正交分解法：
将平抛运动分解为两个分运动：
水平方向（匀速直线运动）：
- 速度：\(v_x = v_0\)
- 位移：\(x = v_0 t\)
竖直方向（自由落体运动）：
- 速度：\(v_y = gt\)
- 位移：\(y = \dfrac{1}{2}gt^2\)
平抛运动的公式汇总：
| 物理量 | 公式 |
|---|---|
| 水平位移 | \(x = v_0 t\) |
| 竖直位移 | \(y = \dfrac{1}{2}gt^2\) |
| 合速度大小 | \(v = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}\) |
| 速度偏转角 | \(\tan\varphi = \dfrac{gt}{v_0}\) |
| 轨迹方程 | \(y = \dfrac{g}{2v_0^2}x^2\) |
| 飞行时间 | \(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\)（从高度 \(h\) 处水平抛出） |
| 水平射程 | \(R = v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) |
重要结论：速度偏转角 \(\varphi\) 与位移偏转角 \(\theta\) 的关系为 \(\tan\varphi = 2\tan\theta\)。
3.2 斜抛运动
定义：将物体以一定的初速度斜向上（或斜向下）抛出，物体仅在重力作用下的运动，称为斜抛运动。
设初速度大小为 \(v_0\)，与水平方向夹角为 \(\theta\)（抛射角），则：
水平方向：
- \(v_x = v_0\cos\theta\)
- \(x = v_0\cos\theta \cdot t\)
竖直方向：
- \(v_y = v_0\sin\theta - gt\)
- \(y = v_0\sin\theta \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2\)
斜抛运动的重要公式：
| 物理量 | 公式 |
|---|---|
| 飞行时间 | \(T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}\) |
| 最大高度 | \(H = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\) |
| 水平射程 | \(R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\) |
| 最大射程条件 | \(\theta = 45°\)（同一水平面） |
典型例题2：平抛运动
从高为 \(h = 20\text{ m}\) 的楼顶以 \(v_0 = 15\text{ m/s}\) 的速度水平抛出一个小球，取 \(g = 10\text{ m/s}^2\)。求： （1）小球落地的时间 （2）小球落地时的水平位移 （3）小球落地时速度的大小和方向
解答：
（1）竖直方向做自由落体运动：
\(h = \frac{1}{2}gt^2\)
\(t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = 2\text{ s}\)
（2）水平位移：
\(x = v_0 t = 15 \times 2 = 30\text{ m}\)
（3）落地时的速度：
水平分速度：\(v_x = v_0 = 15\text{ m/s}\)
竖直分速度：\(v_y = gt = 10 \times 2 = 20\text{ m/s}\)
合速度大小：\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25\text{ m/s}\)
速度偏转角：\(\tan\varphi = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}\)，\(\varphi = 53°\)
即小球落地时速度大小为 25 m/s，方向与水平方向成 53° 角向下。
第四章 圆周运动
4.1 描述圆周运动的物理量
（1）线速度 \(v\)
线速度是描述物体沿圆弧运动快慢的物理量，方向沿切线方向。
\(v = \frac{s}{t} = \frac{2\pi r}{T}\)
其中 \(s\) 为弧长，\(T\) 为周期，\(r\) 为半径。
（2）角速度 \(\omega\)
角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
\(\omega = \frac{\varphi}{t} = \frac{2\pi}{T}\)
其中 \(\varphi\) 为转过的圆心角（弧度）。
（3）周期 \(T\) 和频率 \(f\)
- 周期 \(T\)：物体沿圆周运动一周所用的时间，单位：秒（s）
- 频率 \(f\)：单位时间内完成完整圆周运动的次数，单位：赫兹（Hz）
- 关系：\(T = \dfrac{1}{f}\)
（4）转速 \(n\)
转速指单位时间内转过的圈数，常用单位：转/秒（r/s）或转/分（r/min）。
（5）各量之间的关系
\(v = \omega r = 2\pi r f = \frac{2\pi r}{T}\)
\(\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\)
（6）向心加速度 \(a_n\)
向心加速度始终指向圆心，只改变速度方向，不改变速度大小。
\(a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \omega v = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\)
4.2 向心力
定义：使物体做圆周运动的指向圆心的力，称为向心力。
本质：向心力不是一种新的力，它是根据力的效果命名的。向心力可以由重力、弹力、摩擦力等中的某一个力或几个力的合力提供。
公式：
\(F_n = ma_n = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r = m\frac{4\pi^2 r}{T^2}\)
重要说明：
- 向心力始终指向圆心，方向不断变化
- 向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小
- 做匀速圆周运动的物体，合力完全提供向心力
- 做变速圆周运动的物体，合力可以分解为向心力和切向力
4.3 匀速圆周运动
定义：质点沿圆周运动，且在相等的时间内通过的弧长相等，这种运动称为匀速圆周运动。
特点：
- 速率不变（速度大小恒定）
- 加速度大小不变，方向始终指向圆心
- 合力大小不变，方向始终指向圆心
- 是一种变加速运动（加速度方向在变）
4.4 竖直面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动是变速圆周运动，常见的模型有绳模型和杆模型。
（1）绳模型（无支撑）
物体在竖直面内做圆周运动，由绳子拉力或轨道约束。
最高点的最小速度（临界条件：绳子拉力恰好为零）：
\(mg = m\frac{v^2}{r} \implies v_{min} = \sqrt{gr}\)
（2）杆模型（有支撑）
物体固定在轻杆上在竖直面内做圆周运动。
最高点的最小速度可以为零（此时杆提供向上的支持力 \(N = mg\)）。
最高点速度为 \(v = \sqrt{gr}\) 时，杆的作用力为零。
典型例题3：圆周运动
一根长 \(L = 1\text{ m}\) 的轻绳，一端系一质量 \(m = 0.5\text{ kg}\) 的小球，另一端固定。让小球在竖直面内做圆周运动，取 \(g = 10\text{ m/s}^2\)。 （1）若小球在最高点的速度为 \(v = 3\text{ m/s}\)，求此时绳的拉力。 （2）求小球能通过最高点的最小速度。
解答：
（1）在最高点，重力和绳的拉力都向下，合力提供向心力：
\(T + mg = m\frac{v^2}{L}\)
\(T = m\frac{v^2}{L} - mg = 0.5 \times \frac{9}{1} - 0.5 \times 10 = 4.5 - 5 = -0.5\text{ N}\)
结果为负值，说明此时绳子不可能提供拉力（绳只能拉不能推）。实际上当 \(v < \sqrt{gL} = \sqrt{10} \approx 3.16\text{ m/s}\) 时，小球在到达最高点之前就会脱离圆周轨迹。
修正：若 \(v = 4\text{ m/s}\)：
\(T = m\frac{v^2}{L} - mg = 0.5 \times \frac{16}{1} - 5 = 8 - 5 = 3\text{ N}\)
（2）最高点的临界条件：绳的拉力 \(T = 0\)，仅由重力提供向心力：
\(mg = m\frac{v_{min}^2}{L}\)
\(v_{min} = \sqrt{gL} = \sqrt{10 \times 1} = \sqrt{10} \approx 3.16\text{ m/s}\)
4.5 生活中的圆周运动
（1）汽车过弯道
汽车在水平弯道上转弯时，静摩擦力提供向心力：
\(f = m\frac{v^2}{r}\)
最大转弯速度受最大静摩擦力限制：\(v_{max} = \sqrt{\mu_s g r}\)
（2）火车转弯
外轨高于内轨，利用重力和支持力的合力提供向心力，减小轮缘对轨道的侧向压力。
设轨道倾角为 \(\theta\)，则：
\(mg\tan\theta = m\frac{v^2}{r} \implies v = \sqrt{gr\tan\theta}\)
（3）汽车过拱桥与凹桥
- 过凸形拱桥最高点：\(mg - N = m\dfrac{v^2}{r}\)，此时 \(N < mg\)（失重）
- 过凹形桥最低点：\(N - mg = m\dfrac{v^2}{r}\)，此时 \(N > mg\)（超重）
第五章 万有引力与航天
5.1 开普勒三定律
第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。（近日点速度快，远日点速度慢）
第三定律（周期定律）：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方之比为常数。
\(\frac{a^3}{T^2} = k\)
对于绕同一中心天体运动的所有行星，\(k\) 是相同的。对于近似圆形轨道，\(a\) 可用轨道半径 \(r\) 代替。
5.2 万有引力定律
内容：自然界中任何两个物体之间都存在相互吸引的力，引力的大小与两个物体的质量乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。
公式：
\(F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\)
其中 \(G = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N·m}^2/\text{kg}^2\)，称为万有引力常量，由卡文迪许通过扭秤实验测得。
适用条件：
- 适用于质点之间
- 对于质量分布均匀的球体，\(r\) 为两球心之间的距离
- 万有引力是相互的，遵循牛顿第三定律
重力与万有引力的关系：
在地球表面（忽略自转影响）：
\(mg = G\frac{Mm}{R^2} \implies g = \frac{GM}{R^2}\)
其中 \(M\) 为地球质量，\(R\) 为地球半径。
5.3 天体质量与密度的计算
基本思路：天体对环绕天体的万有引力提供向心力。
\(G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r = m\frac{4\pi^2 r}{T^2}\)
天体质量的计算：
\(M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}\)
天体密度的计算（当环绕天体贴近天体表面运动时，\(r \approx R\)）：
\(\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi}{GT^2}\)
注意：此时密度与天体半径无关！这是一个非常优美的结论。
5.4 卫星运动
（1）宇宙速度
- 第一宇宙速度（环绕速度）：\(v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} \approx 7.9\text{ km/s}\)
- 是人造地球卫星的最小发射速度，最大环绕速度
- 是贴近地球表面做匀速圆周运动的速度
- 第二宇宙速度（脱离速度）：\(v_2 = \sqrt{2gR} = \sqrt{2}v_1 \approx 11.2\text{ km/s}\)
- 使物体脱离地球引力束缚的最小发射速度
- 第三宇宙速度（逃逸速度）：\(v_3 \approx 16.7\text{ km/s}\)
- 使物体脱离太阳引力束缚的最小发射速度
（2）卫星运动的基本公式
设卫星质量为 \(m\)，中心天体质量为 \(M\)，轨道半径为 \(r\)：
\(G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
\(G\frac{Mm}{r^2} = m\omega^2 r \implies \omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}\)
\(G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{4\pi^2 r}{T^2} \implies T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\)
（3）卫星运动的重要关系
| 物理量 | 与轨道半径 \(r\) 的关系 |
|---|---|
| 线速度 \(v\) | \(v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}\)，\(r\) 越大 \(v\) 越小 |
| 角速度 \(\omega\) | \(\omega = \sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}\)，\(r\) 越大 \(\omega\) 越小 |
| 周期 \(T\) | \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}\)，\(r\) 越大 \(T\) 越大 |
| 向心加速度 \(a\) | \(a = \dfrac{GM}{r^2}\)，\(r\) 越大 \(a\) 越小 |
结论：轨道半径越大，卫星的线速度、角速度、向心加速度都越小，但周期越大。
（4）同步卫星
地球同步卫星的轨道平面与赤道平面重合，周期等于地球自转周期 \(T = 24\text{ h}\)。
由 \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}\) 可得同步卫星的轨道半径：
\(r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \approx 4.2 \times 10^7\text{ m} \approx 6.6R\)
即同步卫星距地面高度约 \(h = r - R \approx 3.6 \times 10^7\text{ m} = 36000\text{ km}\)。
（5）近地卫星
近地卫星的轨道半径 \(r \approx R\)（地球半径），此时：
\(v = \sqrt{gR} \approx 7.9\text{ km/s}\)
\(T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6\text{ min} \approx 5077\text{ s}\)
典型例题4：万有引力
已知地球的质量 \(M = 5.97 \times 10^{24}\text{ kg}\)，半径 \(R = 6.4 \times 10^6\text{ m}\)，万有引力常量 \(G = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N·m}^2/\text{kg}^2\)。 （1）计算地球表面的重力加速度。 （2）计算第一宇宙速度。 （3）若一颗卫星在距地面高度 \(h = R\) 的轨道上做匀速圆周运动，求其线速度和周期。
解答：
（1）地球表面的重力加速度：
\(g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6)^2} = \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.096 \times 10^{13}} \approx 9.72\text{ m/s}^2\)
（取 \(g = 9.8\text{ m/s}^2\)，与公认值吻合）
（2）第一宇宙速度：
\(v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{6.272 \times 10^7} \approx 7.9 \times 10^3\text{ m/s} = 7.9\text{ km/s}\)
（3）卫星轨道半径 \(r = R + h = 2R\)：
线速度：\(v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{GM}{2R}} = \dfrac{v_1}{\sqrt{2}} = \dfrac{7.9}{\sqrt{2}} \approx 5.6\text{ km/s}\)
周期：\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{(2R)^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{8R^3}{GM}} = 2\sqrt{2} \times 2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{GM}} = 2\sqrt{2} \times 5077 \approx 14360\text{ s} \approx 4\text{ h}\)
典型例题5：天体密度
一颗近地卫星绕某均匀球形天体做匀速圆周运动，测得其周期为 \(T\)。求该天体的平均密度。
解答：
近地卫星的轨道半径 \(r \approx R\)（天体半径）。
由万有引力提供向心力：
\(G\frac{Mm}{R^2} = m\frac{4\pi^2 R}{T^2}\)
\(M = \frac{4\pi^2 R^3}{GT^2}\)
天体体积：\(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\)
平均密度：
\(\rho = \frac{M}{V} = \frac{\dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}}{\dfrac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi}{GT^2}\)
注意：密度只与周期有关，与天体半径无关。这是一个非常重要的结论。
总结与知识框架
核心知识总结表
| 章节 | 核心概念 | 关键公式 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 曲线运动 | 速度方向沿切线；合力与速度有夹角时做曲线运动 | — | 曲线运动一定是变速运动，但合力不一定变化 |
| 运动合成分解 | 平行四边形定则；等时性、独立性 | \(v = \sqrt{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos\theta}\) | 分运动互相独立，不要混淆 |
| 平抛运动 | 水平匀速+竖直自由落体 | \(x=v_0t\)，\(y=\frac{1}{2}gt^2\) | 速度偏转角 \(\neq\) 位移偏转角 |
| 圆周运动 | 向心力指向圆心，只改变速度方向 | \(a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r\) | 向心力不是独立的力 |
| 万有引力 | \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\)；卡文迪许测 \(G\) | \(M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}\) | \(r\) 是球心距，不是表面距 |
| 卫星运动 | 轨道越大，\(v\)、\(\omega\)、\(a\) 越小，\(T\) 越大 | \(v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\) | 同步卫星轨道在赤道平面 |
各章节之间的联系
直线运动 ──→ 曲线运动 ──→ 运动合成分解
│
┌─────────┼─────────┐
↓ ↓ ↓
平抛运动 斜抛运动 圆周运动
│
↓
向心力公式
│
↓
万有引力定律
│
↓
卫星与航天
综合练习与参考答案
练习一：曲线运动基础
1. 关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
做曲线运动的物体，速度大小一定变化
做曲线运动的物体，加速度一定变化
做曲线运动的物体，合力方向一定与速度方向垂直
做曲线运动的物体，合力方向一定与速度方向不在同一直线上
2. 一个物体在几个共点力作用下做匀速直线运动，突然撤去其中一个力，此后物体可能做（ ）
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
曲线运动
练习二：运动的合成与分解
3. 一条河宽 \(d = 120\text{ m}\)，水流速度 \(v_水 = 2\text{ m/s}\)，船在静水中的速度 \(v_船 = 4\text{ m/s}\)。要使船以最短时间过河，过河时间为（ ）
20 s
30 s
40 s
60 s
4. 在练习3中，若要使船垂直到达对岸，船头应偏向上游与河岸成多大角度？过河时间是多少？
练习三：平抛运动
5. 一个物体以 \(v_0 = 10\text{ m/s}\) 的速度水平抛出，经过 \(t = 2\text{ s}\) 后，物体速度方向与水平方向的夹角为（ ）（取 \(g = 10\text{ m/s}^2\)）
30°
45°
60°
75°
6. 一架飞机在 \(h = 500\text{ m}\) 高空以 \(v_0 = 100\text{ m/s}\) 的速度水平飞行，要使空投的物资落在目标处，飞机应在距目标多远处投放？（取 \(g = 10\text{ m/s}^2\)，不计空气阻力）
练习四：圆周运动
7. 一个做匀速圆周运动的物体，下列物理量中保持不变的是（ ）
线速度
角速度
向心加速度
向心力
8. 如图，质量为 \(m\) 的小球用长为 \(L\) 的细绳悬挂于O点，在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），绳与竖直方向的夹角为 \(\theta\)。求： （1）绳的拉力 （2）小球的角速度 （3）小球的线速度
9. 汽车以 \(v = 20\text{ m/s}\) 的速度通过半径 \(r = 50\text{ m}\) 的凸形拱桥最高点时，汽车对桥面的压力是汽车重力的多少倍？（取 \(g = 10\text{ m/s}^2\)）
练习五：万有引力与航天
10. 已知地球质量为 \(M\)，半径为 \(R\)，万有引力常量为 \(G\)，则地球表面的重力加速度为（ ）
\(G\dfrac{M}{R}\)
\(G\dfrac{M}{R^2}\)
\(G\dfrac{R}{M}\)
\(G\dfrac{R^2}{M}\)
11. 关于地球同步卫星，下列说法正确的是（ ）
同步卫星可以定点在北京上空
同步卫星的轨道半径是确定的
不同同步卫星的线速度可以不同
同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度
12. 若某星球的密度与地球相同，但半径是地球的2倍，则该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的多少倍？
13. 两颗人造地球卫星A和B，A的轨道半径是B的4倍，则： （1）A与B的线速度之比是多少？ （2）A与B的周期之比是多少？
参考答案
练习一
1. D
解析：曲线运动速度方向一定变化，但大小可以不变（如匀速圆周运动），A错。加速度可以不变（如平抛运动），B错。合力方向可以不与速度垂直（如斜抛运动），C错。合力方向与速度方向不在同一直线上是做曲线运动的条件，D正确。
2. BCD
解析：撤去一个力后，剩余力的合力为恒力。若合力方向与原速度方向相同，做匀加速直线运动（B）；若反向，做匀减速直线运动（C）；若有夹角，做曲线运动（D）。不可能做匀速直线运动（A错）。
练习二
3. B
解析：最短时间过河，船头应垂直指向对岸。\(t = \dfrac{d}{v_船} = \dfrac{120}{4} = 30\text{ s}\)。
4. 船头偏向上游，与河岸垂直方向的夹角满足 \(\sin\alpha = \dfrac{v_水}{v_船} = \dfrac{2}{4} = 0.5\)，\(\alpha = 30°\)。
过河时间：\(t = \dfrac{d}{v_船\cos\alpha} = \dfrac{120}{4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{120}{2\sqrt{3}} = \dfrac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \approx 34.6\text{ s}\)。
练习三
5. B
解析：\(v_y = gt = 10 \times 2 = 20\text{ m/s}\)，\(v_x = v_0 = 10\text{ m/s}\)。\(\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{20}{10} = 2\)，\(\theta \approx 63.4°\)。
更正：\(\tan\theta = 2\)，\(\theta \approx 63.4°\)，最接近60°。答案选 C。
6. 飞行时间：\(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 500}{10}} = 10\text{ s}\)
水平距离：\(s = v_0 t = 100 \times 10 = 1000\text{ m}\)
练习四
7. B
解析：匀速圆周运动中，线速度方向变化（A错），角速度大小和方向都不变（B对），向心加速度方向变化（C错），向心力方向变化（D错）。
8.
（1）竖直方向平衡：\(T\cos\theta = mg\)，\(T = \dfrac{mg}{\cos\theta}\)
（2）水平方向提供向心力：\(T\sin\theta = m\omega^2 L\sin\theta\)
由（1）代入：\(\dfrac{mg}{\cos\theta}\sin\theta = m\omega^2 L\sin\theta\)
\(\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}}\)
（3）\(v = \omega \cdot L\sin\theta = \sin\theta\sqrt{\dfrac{gL}{\cos\theta}}\)
9. 在最高点：\(mg - N = m\dfrac{v^2}{r}\)
\(N = mg - m\frac{v^2}{r} = mg\left(1 - \frac{v^2}{gr}\right) = mg\left(1 - \frac{400}{500}\right) = 0.2mg\)
汽车对桥面的压力等于支持力 \(N = 0.2mg\)，即为汽车重力的 0.2倍。
练习五
10. B
解析：\(mg = G\dfrac{Mm}{R^2}\)，\(g = \dfrac{GM}{R^2}\)。
11. B
解析：同步卫星轨道必须在赤道平面上，不能定点在北京上空（A错）。由 \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}\)，\(T\) 固定为24h，\(r\) 也确定（B对）。所有同步卫星轨道半径相同，线速度相同（C错）。同步卫星轨道半径远大于地球半径，线速度小于第一宇宙速度（D错）。
12. 由 \(\rho = \dfrac{3\pi}{GT^2}\) 也可推导：
\(g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \rho}{R^2} = \frac{4}{3}G\pi R\rho\)
密度相同，\(g\) 与 \(R\) 成正比。该星球半径是地球的2倍，所以 \(g_星 = 2g_地\)，即为地球表面重力加速度的 2倍。
13.
（1）\(v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}\)，\(v \propto \dfrac{1}{\sqrt{r}}\)
\(\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)
（2）\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}\)，\(T \propto r^{3/2}\)
\(\frac{T_A}{T_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^{3/2} = 4^{3/2} = 8\)
即A的线速度是B的 \(\dfrac{1}{2}\)，A的周期是B的 8倍。
学习建议
- 理解物理图景：曲线运动的核心是"合力与速度不在同一直线"，所有公式都是从这一基本思想出发的。
- 掌握分解方法：运动的合成与分解是处理所有曲线运动的基本工具，要熟练运用正交分解法。
- 建立模型意识：平抛运动、圆周运动、万有引力都是重要的物理模型，要学会识别并应用。
- 注意公式适用条件：如万有引力定律适用于质点，向心力公式中的 \(r\) 是轨道半径等。
- 多做练习：通过典型例题和练习巩固知识，特别注意易错点和临界条件的分析。
本教程到此结束。 希望同学们通过本教程的学习，能够系统掌握曲线运动与万有引力的核心知识，为后续学习打下坚实基础。物理学习重在理解，勤于思考，善于总结，定能取得好成绩！
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