高二数学下册教程——概率统计与复数

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前言

本教程系统讲解高二下册数学核心内容，涵盖计数原理、概率与统计、随机变量及其分布、复数、参数方程与极坐标等重要知识板块。每个章节均包含详细知识点讲解、总结表格、典型例题及解答、练习题，适合高二学生系统学习和复习使用。

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目录

• 第一章 计数原理
• 第二章 概率
• 第三章 随机变量及其分布
• 第四章 统计与统计案例
• 第五章 复数
• 第六章 参数方程与极坐标
• 综合练习
• 参考答案

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第一章 计数原理

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理：完成一件事有 \(n\) 类不同方案，第 1 类方案有 \(m_1\) 种方法，第 2 类方案有 \(m_2\) 种方法，……，第 \(n\) 类方案有 \(m_n\) 种方法，则完成这件事共有

\(N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n\)

种不同方法。

关键理解：各类方案之间相互独立、互不重叠，完成任一类方案中的任何一种方法都能独立完成这件事。

分步乘法计数原理：完成一件事需要 \(n\) 个步骤，做第 1 步有 \(m_1\) 种方法，做第 2 步有 \(m_2\) 种方法，……，做第 \(n\) 步有 \(m_n\) 种方法，则完成这件事共有

\(N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n\)

种不同方法。

关键理解：各步骤缺一不可，只有所有步骤都完成，整件事才算完成。

易错点：区分"分类"与"分步"是本章的核心难点。分类用加法，分步用乘法。判断依据是：完成一件事的各种方法之间是否相互独立。

1.2 排列

排列的定义：从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\)（\(m \leq n\)）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列。

排列数公式：

\(A_n^m = P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)

特别地，\(A_n^n = n!\)，规定 \(0! = 1\)。

排列数的性质：

• \(A_n^m = n \cdot A_{n-1}^{m-1}\)
• \(A_n^m = m \cdot A_{n-1}^{m-1} + A_{n-1}^{m}\)

1.3 组合

组合的定义：从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\)（\(m \leq n\)）个元素并成一组，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合。

组合数公式：

\(C_n^m = \binom{n}{m} = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)

组合数的性质：

• \(C_n^m = C_n^{n-m}\)（对称性）
• \(C_n^m = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}\)（递推公式，即杨辉三角的规律）
• \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n\)

1.4 二项式定理

二项式定理：

\((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n\)

其中 \(\binom{n}{k} = C_n^k\) 称为二项式系数。

通项公式：第 \(r+1\) 项为

\(T_{r+1} = C_n^r \cdot a^{n-r} \cdot b^r\)

二项式系数的性质：

• 对称性：\(C_n^r = C_n^{n-r}\)
• 增减性：当 \(r < \frac{n}{2}\) 时，二项式系数逐渐增大；当 \(r > \frac{n}{2}\) 时，逐渐减小
• 最大值：当 \(n\) 为偶数时，中间一项 \(C_n^{n/2}\) 最大；当 \(n\) 为奇数时，中间两项 \(C_n^{(n-1)/2}\) 和 \(C_n^{(n+1)/2}\) 相等且最大

📊 第一章知识总结表

概念	核心公式	适用场景
加法原理	\(N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n\)	分类完成一件事
乘法原理	\(N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n\)	分步完成一件事
排列	\(A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}\)	有序选取
组合	\(C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)	无序选取
二项式定理	\((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k\)	展开 \((a+b)^n\)

✏️ 第一章典型例题

例1：从 5 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加数学竞赛，要求至少有 1 名女生，共有多少种选法？

解：使用间接法（排除法）。

从 8 人中任选 3 人：\(C_8^3 = 56\) 种。

全选男生（无女生）：\(C_5^3 = 10\) 种。

至少 1 名女生的选法：\(56 - 10 = 46\) 种。

答：共有 46 种选法。

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例2：求 \((2x - \frac{1}{x})^6\) 展开式中的常数项。

解：通项为

\(T_{r+1} = C_6^r (2x)^{6-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r = C_6^r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-2r}\)

令 \(6 - 2r = 0\)，得 \(r = 3\)。

常数项为 \(T_4 = C_6^3 \cdot 2^3 \cdot (-1)^3 = 20 \times 8 \times (-1) = -160\)。

答：常数项为 -160。

📝 第一章练习题

1. 用 0, 1, 2, 3, 4 这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
2. 从 10 个人中选 4 人参加四个不同的活动，每人只能参加一个活动，共有多少种安排方法？
3. 求 \((x^2 + \frac{1}{x})^9\) 展开式中含 \(x^6\) 的项的系数。
4. 证明：\(C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + \cdots + nC_n^n = n \cdot 2^{n-1}\)。

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第二章 概率

2.1 随机事件与概率

基本概念：

• 随机事件：在条件 \(S\) 下可能发生也可能不发生的事件，记为 \(A, B, C, \ldots\)
• 必然事件：在条件 \(S\) 下必然发生的事件，记为 \(\Omega\)
• 不可能事件：在条件 \(S\) 下不可能发生的事件，记为 \(\varnothing\)
• 基本事件：一次试验中可能出现的每一个直接结果

概率的定义：对于给定的随机事件 \(A\)，如果随着试验次数的增加，事件 \(A\) 发生的频率 \(f_n(A)\) 稳定在某个常数 \(p\) 附近，则称 \(p\) 为事件 \(A\) 的概率，记为 \(P(A) = p\)。

概率的性质：

• \(0 \leq P(A) \leq 1\)
• \(P(\Omega) = 1\)，\(P(\varnothing) = 0\)
• 若事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互斥（不能同时发生），则 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

2.2 古典概型

古典概型的两个特征：

1. 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）
2. 每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）

古典概型概率公式：

\(P(A) = \frac{A \text{ 包含的基本事件数}}{基本事件总数} = \frac{m}{n}\)

2.3 几何概型

几何概型：如果每个基本事件可以看作某个几何区域 \(\Omega\) 中的一个点，且事件 \(A\) 对应 \(\Omega\) 的子区域 \(\omega\)，则

\(P(A) = \frac{\omega \text{ 的几何度量}}{\Omega \text{ 的几何度量}}\)

其中几何度量可以是长度、面积或体积。

2.4 条件概率与独立事件

条件概率：在事件 \(B\) 已发生的条件下，事件 \(A\) 发生的概率为

\(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)\)

乘法公式：\(P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)\)

事件的独立性：若事件 \(A\) 的发生不影响事件 \(B\) 的发生概率，即 \(P(B|A) = P(B)\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相互独立。此时：

\(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\)

全概率公式：若 \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) 构成样本空间的一个完备事件组（互不相容且并为全集），则对任意事件 \(A\)：

\(P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A|B_i)\)

2.5 二项分布与超几何分布

n 次独立重复试验（伯努利试验）：每次试验中事件 \(A\) 发生的概率为 \(p\)，则 \(n\) 次试验中事件 \(A\) 恰好发生 \(k\) 次的概率为

\(P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n\)

记作 \(X \sim B(n, p)\)。

超几何分布：从 \(N\) 个产品（其中 \(M\) 个次品）中不放回地抽取 \(n\) 个，恰好抽到 \(k\) 个次品的概率为

\(P(X = k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)

📊 第二章知识总结表

概念	核心公式	关键条件
古典概型	\(P(A) = \frac{m}{n}\)	有限个等可能事件
几何概型	\(P(A) = \frac{S_\omega}{S_\Omega}\)	等可能的几何区域
条件概率	\(P(A\|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\)	\(P(B) > 0\)
独立事件	\(P(AB) = P(A)P(B)\)	\(A\)、\(B\) 相互独立
二项分布	\(P(X=k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\)	\(n\) 次独立重复试验
全概率公式	\(P(A) = \sum P(B_i)P(A\|B_i)\)	完备事件组

✏️ 第二章典型例题

例3：甲、乙两人独立射击同一目标，甲命中率为 0.8，乙命中率为 0.6。求：

（1）两人都命中的概率；（2）至少有一人命中的概率。

解：

设事件 \(A\) = "甲命中"，事件 \(B\) = "乙命中"。

（1）两人都命中：\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0.8 \times 0.6 = 0.48\)

（2）至少一人命中 = 1 - 两人都未命中

\(P(\bar{A}\bar{B}) = (1-0.8)(1-0.6) = 0.2 \times 0.4 = 0.08\)

\(P(\text{至少一人命中}) = 1 - 0.08 = 0.92\)

答：（1）概率为 0.48；（2）概率为 0.92。

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例4：某工厂有甲、乙、丙三台机器生产同一种产品，它们的产量比为 3:3:4，次品率分别为 2%, 3%, 4%。现从产品中随机取一件，求取到次品的概率。

解：设 \(B_1, B_2, B_3\) 分别表示产品来自甲、乙、丙机器，\(A\) 表示取到次品。

\(P(B_1) = 0.3, \quad P(B_2) = 0.3, \quad P(B_3) = 0.4\)

\(P(A|B_1) = 0.02, \quad P(A|B_2) = 0.03, \quad P(A|B_3) = 0.04\)

由全概率公式：

\(P(A) = 0.3 \times 0.02 + 0.3 \times 0.03 + 0.4 \times 0.04 = 0.006 + 0.009 + 0.016 = 0.031\)

答：取到次品的概率为 0.031（即 3.1%）。

📝 第二章练习题

1. 一个袋中有 3 个红球和 2 个白球，从中不放回地取 2 个球，求恰好取到 1 个红球的概率。
2. 某射手每次射击命中率为 0.7，独立射击 5 次，求恰好命中 3 次的概率。
3. 将一枚硬币抛掷 3 次，求至少出现一次正面的概率。
4. 甲箱中有 5 个正品和 3 个次品，乙箱中有 4 个正品和 2 个次品。从甲箱中取 2 个产品放入乙箱，再从乙箱中取 1 个产品，求取到正品的概率。

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第三章 随机变量及其分布

3.1 离散型随机变量及其分布列

随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，且这个变量的取值是随机的，则称这个变量为随机变量，通常用大写字母 \(X, Y, Z\) 表示。

离散型随机变量：取值可以一一列举的随机变量。

分布列：设离散型随机变量 \(X\) 的所有可能取值为 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)，则 \(X\) 取各个值的概率为

\(X\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(\cdots\)	\(x_n\)
\(P\)	\(p_1\)	\(p_2\)	\(\cdots\)	\(p_n\)

分布列的性质：

• \(p_i \geq 0\)（\(i = 1, 2, \ldots, n\)）
• \(p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\)

3.2 离散型随机变量的均值与方差

数学期望（均值）：

\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\)

方差：

\(D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i = E(X^2) - [E(X)]^2\)

标准差：\(\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\)

期望与方差的性质：

• \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
• \(D(aX + b) = a^2 D(X)\)
• 若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立：\(E(XY) = E(X) \cdot E(Y)\)，\(D(X + Y) = D(X) + D(Y)\)

3.3 常见离散型分布

1. 两点分布（0-1 分布） \(X \sim B(1, p)\)：

\(P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p\)

\(E(X) = p, \quad D(X) = p(1-p)\)

2. 二项分布 \(X \sim B(n, p)\)：

\(P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n\)

\(E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p)\)

3. 超几何分布：

\(P(X = k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)

\(E(X) = \frac{nM}{N}\)

3.4 正态分布

正态分布 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 的概率密度函数：

\(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in (-\infty, +\infty)\)

其中 \(\mu\) 为均值，\(\sigma^2\) 为方差。

正态分布的性质：

• 曲线关于 \(x = \mu\) 对称
• \(x = \mu\) 时 \(f(x)\) 取最大值
• \(\mu\) 决定曲线的中心位置，\(\sigma\) 决定曲线的"胖瘦"
• \(3\sigma\) 原则：\(P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0.9974\)

标准正态分布：当 \(\mu = 0, \sigma = 1\) 时，\(X \sim N(0, 1)\)，记其分布函数为 \(\Phi(x)\)。

一般的正态分布可以通过变换 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) 转化为标准正态分布。

📊 第三章知识总结表

分布类型	概率公式	期望	方差
两点分布	\(P(X=1)=p\)	\(p\)	\(p(1-p)\)
二项分布 \(B(n,p)\)	\(C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
超几何分布	\(\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)	\(\frac{nM}{N}\)	—
正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)	密度函数 \(f(x)\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)

✏️ 第三章典型例题

例5：袋中有 4 个红球和 2 个白球，从中不放回地取 3 个球。设 \(X\) 为取到红球的个数，求 \(X\) 的分布列、期望和方差。

解：\(X\) 的可能取值为 1, 2, 3。

\(P(X=1) = \frac{C_4^1 C_2^2}{C_6^3} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{1}{5}\)

\(P(X=2) = \frac{C_4^2 C_2^1}{C_6^3} = \frac{6 \times 2}{20} = \frac{3}{5}\)

\(P(X=3) = \frac{C_4^3 C_2^0}{C_6^3} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{1}{5}\)

分布列：

\(X\)	1	2	3
\(P\)	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5}\)

\(E(X) = 1 \times \frac{1}{5} + 2 \times \frac{3}{5} + 3 \times \frac{1}{5} = \frac{1+6+3}{5} = 2\)

\(E(X^2) = 1 \times \frac{1}{5} + 4 \times \frac{3}{5} + 9 \times \frac{1}{5} = \frac{1+12+9}{5} = \frac{22}{5}\)

\(D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{22}{5} - 4 = \frac{2}{5}\)

答：\(E(X) = 2\)，\(D(X) = \dfrac{2}{5}\)。

📝 第三章练习题

1. 设随机变量 \(X\) 的分布列为 \(P(X=k) = \frac{k}{10}\)（\(k = 1, 2, 3, 4\)），求 \(E(X)\) 和 \(D(X)\)。
2. 某射手射击的命中率为 0.6，独立射击 4 次，设命中次数为 \(X\)，求 \(E(X)\) 和 \(D(X)\)。
3. 设 \(X \sim N(2, 4)\)，求 \(P(0 < X < 4)\)。（提示：利用标准正态分布表）
4. 一批产品共 100 件，其中有 5 件次品。从中随机抽取 10 件检验，设 \(X\) 为次品数，求 \(E(X)\)。

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第四章 统计与统计案例

4.1 抽样方法

简单随机抽样：从总体中逐个抽取，每次抽取时总体中的每个个体被抽到的概率相等。常用方法有抽签法和随机数表法。

系统抽样（等距抽样）：将总体分成均衡的若干部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体。适用于总体容量较大时。

分层抽样：将总体按某种特征分为若干层，然后从各层中独立地按比例抽取样本。适用于总体由差异明显的几部分组成时。

4.2 频率分布与数字特征

频率分布表：将数据分组后，统计各组的频数和频率。

频率分布直方图：以分组为横轴、频率/组距为纵轴绘制的直方图。每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形面积之和为 1。

样本均值：

\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\)

样本方差：

\(s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)

4.3 回归分析

最小二乘法：对于一组数据 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，回归直线方程 \(\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}\) 中的系数为：

\(\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2}\)

\(\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}\)

相关系数：

\(r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}\)

• \(|r|\) 越接近 1，线性相关程度越强
• \(|r|\) 越接近 0，线性相关程度越弱
• 一般认为 \(|r| > 0.75\) 时，线性相关性较强

4.4 独立性检验

卡方检验：用于检验两个分类变量之间是否存在关联。

\(\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)

其中 \(a, b, c, d\) 为 \(2 \times 2\) 列联表中的数据。

	\(B\)	\(\bar{B}\)	合计
\(A\)	\(a\)	\(b\)	\(a+b\)
\(\bar{A}\)	\(c\)	\(d\)	\(c+d\)
合计	\(a+c\)	\(b+d\)	\(n\)

判断标准：

• \(\chi^2 \geq 3.841\) 时，在显著性水平 0.05 下拒绝原假设，认为两变量有关联
• \(\chi^2 \geq 6.635\) 时，在显著性水平 0.01 下拒绝原假设

📊 第四章知识总结表

内容	核心方法	适用场景
简单随机抽样	抽签法、随机数表法	总体容量较小
系统抽样	等间距抽取	总体容量较大且均匀
分层抽样	按比例从各层抽取	总体差异明显
回归分析	最小二乘法	探究两变量的线性关系
独立性检验	卡方检验	探究两分类变量的关联

✏️ 第四章典型例题

例6：某校有高中生 1200 人，初中生 800 人，小学生 500 人。现要从中抽取 50 人进行视力调查，应如何抽样？

解：采用分层抽样。

各层抽样比为 \(\frac{50}{2500} = \frac{1}{50}\)。

• 高中生应抽取：\(1200 \times \frac{1}{50} = 24\) 人
• 初中生应抽取：\(800 \times \frac{1}{50} = 16\) 人
• 小学生应抽取：\(500 \times \frac{1}{50} = 10\) 人

答：分别从高中、初中、小学抽取 24 人、16 人、10 人。

📝 第四章练习题

1. 某工厂生产的一批零件中随机抽取 10 个，测得直径（单位：cm）为：2.1, 2.3, 2.2, 2.4, 2.3, 2.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.1。求样本均值和样本方差。
2. 已知 \(x\) 与 \(y\) 的数据如下，求 \(y\) 关于 \(x\) 的线性回归方程。

\(x\)	1	2	3	4	5
\(y\)	2	3	5	6	8

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第五章 复数

5.1 复数的概念

虚数单位：规定 \(i^2 = -1\)，其中 \(i\) 称为虚数单位。

复数的定义：形如 \(z = a + bi\)（\(a, b \in \mathbb{R}\)）的数称为复数，其中 \(a\) 称为实部（\(\text{Re}(z)\)），\(b\) 称为虚部（\(\text{Im}(z)\)）。

复数的分类：

• 当 \(b = 0\) 时，\(z = a\) 为实数
• 当 \(b \neq 0\) 时，\(z = a + bi\) 为虚数
• 当 \(a = 0\) 且 \(b \neq 0\) 时，\(z = bi\) 为纯虚数

复数集：记全体复数为 \(\mathbb{C}\)，有 \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)。

数系的扩展关系：

\(\text{自然数} \subset \text{整数} \subset \text{有理数} \subset \text{实数} \subset \text{复数}\)

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)

5.2 复数的几何意义

复平面：用横轴表示实部、纵轴表示虚部的平面坐标系。复数 \(z = a + bi\) 与复平面上的点 \(Z(a, b)\) 一一对应，也与向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 一一对应。

复数的模：

\(|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

共轭复数：\(z = a + bi\) 的共轭复数为 \(\bar{z} = a - bi\)。

共轭复数的性质：

• \(z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2\)
• \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2\)
• \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2\)

5.3 复数的四则运算

设 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di\)（\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\)）。

加法：

\(z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\)

减法：

\(z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i\)

乘法：

\(z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

除法：

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}\)

5.4 \(i\) 的幂次规律

\(i\) 的幂次具有周期为 4 的规律：

• \(i^1 = i\)
• \(i^2 = -1\)
• \(i^3 = -i\)
• \(i^4 = 1\)
• \(i^n = i^{n \bmod 4}\)

因此：\(i + i^2 + i^3 + i^4 = 0\)。

📊 第五章知识总结表

内容	公式/性质
复数定义	\(z = a + bi\)（\(a, b \in \mathbb{R}\)）
模	\(\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
共轭	\(\bar{z} = a - bi\)
加法	\((a+c) + (b+d)i\)
乘法	\((ac-bd) + (ad+bc)i\)
除法	\(\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)
\(i\) 的幂次	周期为 4：\(i, -1, -i, 1\)

✏️ 第五章典型例题

例7：已知复数 \(z = \frac{(1+i)^3}{2-i}\)，求 \(|z|\)。

解：

\((1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i\)

\((1+i)^3 = (1+i) \cdot 2i = 2i + 2i^2 = -2 + 2i\)

\(\frac{-2+2i}{2-i} = \frac{(-2+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{-4-2i+4i+2i^2}{4+1} = \frac{-6+2i}{5} = -\frac{6}{5} + \frac{2}{5}i\)

\(|z| = \sqrt{\left(-\frac{6}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{36+4}{25}} = \sqrt{\frac{40}{25}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}\)

答：\(|z| = \dfrac{2\sqrt{10}}{5}\)。

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例8：设 \(z\) 是虚数，且 \(z + \frac{4}{z}\) 是实数，求 \(|z|\)。

解：设 \(z = a + bi\)（\(b \neq 0\)）。

\(\frac{4}{z} = \frac{4}{a+bi} = \frac{4(a-bi)}{a^2+b^2} = \frac{4a}{a^2+b^2} - \frac{4b}{a^2+b^2}i\)

\(z + \frac{4}{z} = \left(a + \frac{4a}{a^2+b^2}\right) + \left(b - \frac{4b}{a^2+b^2}\right)i\)

因为 \(z + \frac{4}{z}\) 是实数，所以虚部为 0：

\(b - \frac{4b}{a^2+b^2} = 0\)

因为 \(b \neq 0\)，所以 \(1 - \frac{4}{a^2+b^2} = 0\)，即 \(a^2 + b^2 = 4\)。

\(|z| = \sqrt{a^2+b^2} = 2\)

答：\(|z| = 2\)。

📝 第五章练习题

1. 计算 \(\frac{1+2i}{3-4i}\)。
2. 已知 \((2+i)z = 3-i\)，求 \(z\) 及 \(|z|\)。
3. 设 \(z_1 = 1+2i\)，\(z_2 = 3-4i\)，求 \(z_1 \cdot \bar{z}_2\)。
4. 求 \(i^{2026}\) 的值。
5. 已知复数 \(z\) 满足 \(|z - 1 - i| = 1\)，求 \(|z|\) 的最大值和最小值。

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第六章 参数方程与极坐标

6.1 参数方程的概念

参数方程的定义：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 \(x, y\) 都是某个变量 \(t\) 的函数

\(\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}\)

且对于 \(t\) 的每一个允许值，由此方程组确定的点 \((x, y)\) 都在曲线上，则称此方程组为曲线的参数方程，\(t\) 称为参数。

6.2 常见曲线的参数方程

1. 直线的参数方程

过点 \(P_0(x_0, y_0)\)，倾斜角为 \(\alpha\) 的直线：

\(\begin{cases} x = x_0 + t\cos\alpha \\ y = y_0 + t\sin\alpha \end{cases}\)

其中 \(t\) 为参数，\(|t|\) 表示点 \(P_0\) 到直线上对应点的距离。

2. 圆的参数方程

圆心在原点、半径为 \(r\) 的圆：

\(\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases}\)

圆心在 \((a, b)\)、半径为 \(r\) 的圆：

\(\begin{cases} x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta \end{cases}\)

3. 椭圆的参数方程

\(\begin{cases} x = a\cos\theta \\ y = b\sin\theta \end{cases}\)

其中 \(a\) 为长半轴，\(b\) 为短半轴。

6.3 参数方程与普通方程的互化

消参方法：

• 代入法：从一个方程中解出参数，代入另一个方程
• 三角恒等式法：利用 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) 等恒等式

例：将参数方程 \(\begin{cases} x = 2\cos\theta \\ y = 3\sin\theta \end{cases}\) 化为普通方程。

由 \(\cos\theta = \frac{x}{2}\)，\(\sin\theta = \frac{y}{3}\)，利用 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)：

\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\)

这是一个椭圆。

6.4 极坐标系

极坐标系的建立：在平面内取一个定点 \(O\)（极点），从 \(O\) 引一条射线 \(Ox\)（极轴），再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），就构成了极坐标系。

极坐标与直角坐标的互化：

直角坐标 → 极坐标：

\(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}\)

极坐标 → 直角坐标：

\(x = \rho\cos\theta, \quad y = \rho\sin\theta\)

6.5 常见曲线的极坐标方程

1. 直线

过极点、与极轴成 \(\alpha\) 角的直线：\(\theta = \alpha\)

过点 \((a, 0)\)、垂直于极轴的直线：\(\rho\cos\theta = a\)

2. 圆

圆心在极点、半径为 \(r\) 的圆：\(\rho = r\)

圆心在 \((a, 0)\)、过极点的圆：\(\rho = 2a\cos\theta\)

圆心在 \((0, a)\)、过极点的圆：\(\rho = 2a\sin\theta\)

3. 圆锥曲线的统一极坐标方程

以焦点为极点，以焦点到准线的方向为极轴的反方向：

\(\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}\)

其中 \(e\) 为离心率，\(p\) 为焦点到准线的距离。

• \(0 < e < 1\)：椭圆
• \(e = 1\)：抛物线
• \(e > 1\)：双曲线

📊 第六章知识总结表

曲线	参数方程	极坐标方程
直线	\(\begin{cases} x=x_0+t\cos\alpha \\ y=y_0+t\sin\alpha \end{cases}\)	\(\theta = \alpha\) 或 \(\rho\cos\theta = a\)
圆（原点为心）	\(\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}\)	\(\rho = r\)
圆（过极点）	—	\(\rho = 2a\cos\theta\)
椭圆	\(\begin{cases} x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta \end{cases}\)	—

✏️ 第六章典型例题

例9：将极坐标方程 \(\rho = 4\cos\theta\) 化为直角坐标方程，并说明其表示的曲线。

解：

两边同乘 \(\rho\)：\(\rho^2 = 4\rho\cos\theta\)

利用 \(x = \rho\cos\theta\)，\(\rho^2 = x^2 + y^2\)：

\(x^2 + y^2 = 4x\)

\(x^2 - 4x + y^2 = 0\)

\((x-2)^2 + y^2 = 4\)

答：这是一个圆心为 \((2, 0)\)、半径为 2 的圆。

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例10：已知直线 \(l\) 的参数方程为 \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \end{cases}\)（\(t\) 为参数），圆 \(C\) 的方程为 \(x^2 + y^2 = 4\)，求直线 \(l\) 与圆 \(C\) 的交点。

解：

将参数方程代入圆的方程：

\((1+t)^2 + (2+2t)^2 = 4\)

\(1 + 2t + t^2 + 4 + 8t + 4t^2 = 4\)

\(5t^2 + 10t + 5 = 4\)

\(5t^2 + 10t + 1 = 0\)

\(t = \frac{-10 \pm \sqrt{100-20}}{10} = \frac{-10 \pm \sqrt{80}}{10} = \frac{-10 \pm 4\sqrt{5}}{10} = \frac{-5 \pm 2\sqrt{5}}{5}\)

当 \(t = \frac{-5+2\sqrt{5}}{5}\) 时：

\(x = 1 + \frac{-5+2\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad y = 2 + 2 \cdot \frac{-5+2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\)

当 \(t = \frac{-5-2\sqrt{5}}{5}\) 时：

\(x = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad y = -\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

答：交点为 \(\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}, \dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)\) 和 \(\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}, -\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)\)。

📝 第六章练习题

1. 将参数方程 \(\begin{cases} x = 3\cos\theta \\ y = 3\sin\theta \end{cases}\) 化为普通方程。
2. 将极坐标方程 \(\rho\sin\theta = 2\) 化为直角坐标方程。
3. 求极坐标系中点 \(A(2, \frac{\pi}{6})\) 和点 \(B(3, \frac{\pi}{3})\) 之间的距离。
4. 已知直线 \(l\) 的极坐标方程为 \(\rho\cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\)，将其化为直角坐标方程。
5. 椭圆 \(\begin{cases} x = 4\cos\theta \\ y = 3\sin\theta \end{cases}\) 上一点 \(P\) 对应参数 \(\theta = \frac{\pi}{3}\)，求点 \(P\) 的直角坐标及 \(|OP|\)。

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综合练习

综合练习一（计数原理与概率）

1. 从 1, 2, 3, 4, 5 中任取 3 个不同的数字组成三位数，求所得三位数是偶数的概率。

2. 某次考试有 5 道判断题，某学生随机作答（每题等概率地选"对"或"错"），求恰好答对 3 题的概率。

3. 甲袋中有 3 个红球和 2 个白球，乙袋中有 2 个红球和 3 个白球。从甲袋中取 1 个球放入乙袋，再从乙袋中取 1 个球。求从乙袋中取到红球的概率。

综合练习二（随机变量与统计）

4. 某射手每次射击命中目标的概率为 0.8，独立射击 10 次。求： （1）恰好命中 8 次的概率； （2）至少命中 8 次的概率； （3）命中次数的期望和方差。

5. 某班 40 名同学的数学成绩如下表，求中位数和平均数。

成绩区间	[60,70)	[70,80)	[80,90)	[90,100]
人数	5	15	12	8

综合练习三（复数与参数方程）

6. 已知 \(z = \frac{(2+i)(3-2i)}{1+i}\)，求 \(z\) 的实部、虚部和模。

7. 在极坐标系中，曲线 \(C_1: \rho = 2\) 与曲线 \(C_2: \rho = 4\cos\theta\) 相交于 \(A, B\) 两点，求 \(|AB|\)。

8. 已知直线 \(l\) 的参数方程为 \(\begin{cases} x = 2 + t\cos\frac{\pi}{3} \\ y = 1 + t\sin\frac{\pi}{3} \end{cases}\)，圆 \(C\) 的极坐标方程为 \(\rho = 2\)，求直线 \(l\) 被圆 \(C\) 截得的弦长。

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参考答案

第一章练习题答案

1. 三位数的个数：百位不能为 0，百位有 4 种选择（1-4），十位有 4 种选择，个位有 3 种选择。共 \(4 \times 4 \times 3 = 48\) 个。

2. 安排方法：先从 10 人中选 4 人，再分配到 4 个活动。\(C_{10}^4 \times A_4^4 = 210 \times 24 = 5040\) 种。也可直接计算 \(A_{10}^4 = 5040\) 种。

3. 含 \(x^6\) 的项：通项 \(T_{r+1} = C_9^r (x^2)^{9-r} \cdot x^{-r} = C_9^r x^{18-3r}\)。令 \(18-3r=6\)，\(r=4\)。系数为 \(C_9^4 = 126\)。

4. 证明：利用 \(kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}\)：

\(\sum_{k=1}^{n} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} nC_{n-1}^{k-1} = n\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^j = n \cdot 2^{n-1}\)

第二章练习题答案

1. 概率：\(P = \frac{C_3^1 C_2^1}{C_5^2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)。

2. 恰好命中 3 次：\(P = C_5^3 (0.7)^3 (0.3)^2 = 10 \times 0.343 \times 0.09 = 0.3087\)。

3. 至少一次正面：\(P = 1 - P(\text{全反面}) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{7}{8}\)。

4. 取到正品的概率（用全概率公式，分三种情况讨论甲箱取出的两个产品）：

   • 从甲取 2 正品放入乙（概率 \(\frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28}\)）：乙有 6 正 2 次，取到正品概率 \(\frac{6}{8}\)
   • 从甲取 1 正 1 次放入乙（概率 \(\frac{C_5^1 C_3^1}{C_8^2} = \frac{15}{28}\)）：乙有 5 正 3 次，取到正品概率 \(\frac{5}{8}\)
   • 从甲取 2 次品放入乙（概率 \(\frac{C_3^2}{C_8^2} = \frac{3}{28}\)）：乙有 4 正 4 次，取到正品概率 \(\frac{4}{8}\)

   \(P = \frac{10}{28} \times \frac{6}{8} + \frac{15}{28} \times \frac{5}{8} + \frac{3}{28} \times \frac{4}{8} = \frac{60+75+12}{224} = \frac{147}{224} = \frac{21}{32}\)

第三章练习题答案

1. \(E(X)\) 和 \(D(X)\)：

   • 验证：\(\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+\frac{4}{10} = 1\) ✓
   • \(E(X) = 1\times\frac{1}{10}+2\times\frac{2}{10}+3\times\frac{3}{10}+4\times\frac{4}{10} = \frac{1+4+9+16}{10} = 3\)
   • \(E(X^2) = 1\times\frac{1}{10}+4\times\frac{2}{10}+9\times\frac{3}{10}+16\times\frac{4}{10} = \frac{1+8+27+64}{10} = 10\)
   • \(D(X) = 10 - 9 = 1\)

2. \(E(X) = np = 4 \times 0.6 = 2.4\)，\(D(X) = np(1-p) = 4 \times 0.6 \times 0.4 = 0.96\)

3. \(P(0 < X < 4)\)：\(X \sim N(2, 4)\)，\(\mu = 2\)，\(\sigma = 2\)。

   • \(P(0 < X < 4) = P\left(\frac{0-2}{2} < Z < \frac{4-2}{2}\right) = P(-1 < Z < 1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826\)

4. \(E(X) = \frac{nM}{N} = \frac{10 \times 5}{100} = 0.5\)

第四章练习题答案

1. 样本均值：\(\bar{x} = \frac{2.1+2.3+2.2+2.4+2.3+2.5+2.2+2.3+2.4+2.1}{10} = \frac{22.8}{10} = 2.28\)

   样本方差：\(s^2 = \frac{1}{10}[(2.1-2.28)^2 + (2.3-2.28)^2 + \cdots + (2.1-2.28)^2] = \frac{0.136}{10} = 0.0136\)

2. 回归方程：

   • \(\bar{x} = 3\)，\(\bar{y} = 4.8\)
   • \(\sum x_i y_i = 1\times2+2\times3+3\times5+4\times6+5\times8 = 2+6+15+20+40 = 83\)
   • \(\sum x_i^2 = 1+4+9+16+25 = 55\)
   • \(\hat{b} = \frac{83 - 5\times3\times4.8}{55 - 5\times9} = \frac{83-72}{55-45} = \frac{11}{10} = 1.1\)
   • \(\hat{a} = 4.8 - 1.1\times3 = 4.8 - 3.3 = 1.5\)
   • 回归方程：\(\hat{y} = 1.1x + 1.5\)

第五章练习题答案

1. \(\frac{1+2i}{3-4i} = \frac{(1+2i)(3+4i)}{25} = \frac{3+4i+6i+8i^2}{25} = \frac{-5+10i}{25} = -\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)

2. \(z = \frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i)(2-i)}{5} = \frac{6-3i-2i+i^2}{5} = \frac{5-5i}{5} = 1-i\)，\(|z| = \sqrt{2}\)。

3. \(z_1 \cdot \bar{z}_2 = (1+2i)(3+4i) = 3+4i+6i+8i^2 = -5+10i\)

4. \(2026 \div 4 = 506 \cdots 2\)，所以 \(i^{2026} = i^2 = -1\)。

5. \(|z - (1+i)| = 1\) 表示以 \((1, 1)\) 为圆心、1 为半径的圆。\(|z|\) 表示到原点的距离。圆心到原点距离为 \(\sqrt{2}\)，所以 \(|z|_{\max} = \sqrt{2}+1\)，\(|z|_{\min} = \sqrt{2}-1\)。

第六章练习题答案

1. \(x^2 + y^2 = 9\)（半径为 3 的圆）

2. \(y = 2\)（水平直线）

3. 转化为直角坐标：\(A(\sqrt{3}, 1)\)，\(B(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})\)。\(|AB| = \sqrt{(\sqrt{3}-\frac{3}{2})^2+(1-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{13-6\sqrt{3}}\)

4. \(\rho\cos\theta\cos\frac{\pi}{4} + \rho\sin\theta\sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\)，即 \(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y) = \sqrt{2}\)，得 \(x + y = 2\)。

5. \(P\) 的坐标：\(x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2\)，\(y = 3\sin\frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)。\(|OP| = \sqrt{4+\frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{43}{4}} = \frac{\sqrt{43}}{2}\)。

综合练习答案

1. 三位数是偶数的概率：末位为偶数（0, 2, 4），分类讨论：

   • 末位为 0：百位 \(C_4^1\)，十位 \(C_3^1\)，共 12 个
   • 末位为 2 或 4：百位 \(C_3^1\)（不含 0 和末位数），十位 \(C_3^1\)，共 \(2\times9=18\) 个
   • 偶数三位数共 30 个，总三位数 \(C_5^3 \times A_3^3 = 60\) 个
   • \(P = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}\)

2. 恰好答对 3 题：\(P = C_5^3 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\)

3. 从乙袋取到红球：

   • 从甲取红球放入乙（概率 \(\frac{3}{5}\)）：乙有 3 红 3 白，取到红概率 \(\frac{1}{2}\)
   • 从甲取白球放入乙（概率 \(\frac{2}{5}\)）：乙有 2 红 4 白，取到红概率 \(\frac{1}{3}\)
   • \(P = \frac{3}{5}\times\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\times\frac{1}{3} = \frac{3}{10}+\frac{2}{15} = \frac{9+4}{30} = \frac{13}{30}\)

4. 二项分布 \(X \sim B(10, 0.8)\)：

   • （1）\(P(X=8) = C_{10}^8 (0.8)^8(0.2)^2 = 45\times0.1678\times0.04 \approx 0.3020\)
   • （2）\(P(X\geq8) = P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \approx 0.3020+0.2684+0.1074 = 0.6778\)
   • （3）\(E(X) = 10\times0.8 = 8\)，\(D(X) = 10\times0.8\times0.2 = 1.6\)

5. 中位数在 [80,90) 区间内：前 20 人在 [60,80) 内，中位数是第 20 和 21 人的平均值。

   • 中位数 \(= 80 + \frac{0.5}{12}\times10 = 80.42\)（约）
   • 平均数 \(= \frac{5\times65+15\times75+12\times85+8\times95}{40} = \frac{325+1125+1020+760}{40} = \frac{3230}{40} = 80.75\)

6. \(z\) 的计算：

   • \((2+i)(3-2i) = 6-4i+3i-2i^2 = 8-i\)
   • \(\frac{8-i}{1+i} = \frac{(8-i)(1-i)}{2} = \frac{8-8i-i+i^2}{2} = \frac{7-9i}{2} = \frac{7}{2}-\frac{9}{2}i\)
   • 实部 \(\frac{7}{2}\)，虚部 \(-\frac{9}{2}\)，\(|z| = \sqrt{\frac{49}{4}+\frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{130}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2}\)

7. \(|AB|\) 的计算：\(C_1\) 为半径 2 的圆，\(C_2\) 为 \((x-2)^2+y^2=4\)。联立解得 \(x=1, y=\pm\sqrt{3}\)，\(|AB| = 2\sqrt{3}\)。

8. 弦长：直线过 \((2,1)\)，方向 \((\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)。圆心（原点）到直线的距离 \(d = |2\sin\frac{\pi}{3}-1\cos\frac{\pi}{3}| = |\sqrt{3}-\frac{1}{2}| = \sqrt{3}-\frac{1}{2}\)。弦长 \(= 2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{4-(\sqrt{3}-\frac{1}{2})^2} = 2\sqrt{4-3+\sqrt{3}-\frac{1}{4}} = 2\sqrt{\frac{3}{4}+\sqrt{3}} = 2\sqrt{\frac{3+4\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{3+4\sqrt{3}}\)

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学习建议

1. 计数原理：重点掌握分类与分步的区别，排列与组合的区别（有序 vs 无序）。多做含限制条件的综合题。
2. 概率：古典概型是基础，条件概率和全概率公式是重点。二项分布是高考热点。
3. 随机变量：熟练写出分布列是关键，期望和方差的计算要准确。正态分布要会查表和转化。
4. 统计：回归分析的最小二乘法公式要记牢，独立性检验的卡方公式要会用。
5. 复数：四则运算是基本功，模和共轭的性质要灵活运用。注意复数与几何的结合。
6. 参数方程与极坐标：参数方程消参和极坐标直角坐标互化是核心技能，常见曲线的方程要熟记。

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本教程共计约 7000 字，涵盖高二下册数学六大核心板块。建议学生按照章节顺序系统学习，配合练习题巩固，最后通过综合练习检验整体掌握情况。