微积分入门教程——多元函数与级数

概述

高等数学下册的核心内容是从一元函数推广到多元函数，从有限运算推广到无穷级数。多元函数微分学研究多个变量之间的依赖关系及其变化率，重积分将积分从一维推广到二维和三维，曲线曲面积分则为物理学中的场论提供了数学工具，而无穷级数是表示函数和进行数值计算的重要手段。

这些内容在工程、物理、经济学中有广泛应用：偏导数用于优化多元函数，重积分用于计算体积和质量，级数用于求解微分方程和信号处理。本教程将系统讲解这四大核心模块，配合典型例题帮助你掌握计算方法和应用技巧。

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一、多元函数微分学

1.1 多元函数的概念

多元函数是指自变量多于一个的函数。二元函数 z = f(x, y) 的定义域是 xy 平面上的一个区域。

例题：求函数 f(x, y) = ln(1 - x² - y²) 的定义域。

解：对数函数的真数必须大于0，即 1 - x² - y² > 0，因此 x² + y² < 1。定义域是以原点为圆心、半径为1的开圆盘（不包含边界）。

1.2 偏导数

偏导数是多元函数对某一个自变量求导（将其他自变量视为常数）。

设 z = f(x, y)，则：

\(\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}\)

\(\frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}\)

例题：求 z = x³y + sin(xy) 的偏导数。

解：

• 对 x 求偏导（y 视为常数）：∂z/∂x = 3x²y + y·cos(xy)
• 对 y 求偏导（x 视为常数）：∂z/∂y = x³ + x·cos(xy)

1.3 全微分

若 z = f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的偏导数都存在且连续，则函数在该点可微，全微分为：

\(dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy\)

全微分的几何意义：当自变量分别有微小变化 Δx 和 Δy 时，函数值的近似变化量。

例题：计算 z = e^(xy) 在点 (1, 1) 处、Δx = 0.01、Δy = 0.02 时的全微分近似值。

解：∂z/∂x = ye^(xy)，∂z/∂y = xe^(xy)。 在 (1,1) 处：∂z/∂x = e，∂z/∂y = e。 dz = e × 0.01 + e × 0.02 = 0.03e ≈ 0.0815。

1.4 链式法则

若 z = f(u, v)，u = φ(t)，v = ψ(t)，则：

\(\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dt}\)

这是多元复合函数求导的核心公式。当变量之间的依赖关系较复杂时，可以画出变量关系树来帮助确定求导路径。

1.5 多元函数极值

极值的必要条件：若 f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处取得极值且偏导数存在，则 fₓ(x₀, y₀) = 0，fᵧ(x₀, y₀) = 0。

极值的充分条件：令 A = fₓₓ，B = fₓᵧ，C = fᵧᵧ，在驻点处：

• 若 AC - B² > 0 且 A > 0，取极小值
• 若 AC - B² > 0 且 A < 0，取极大值
• 若 AC - B² < 0，不是极值（鞍点）
• 若 AC - B² = 0，需进一步判断

例题：求 f(x, y) = x³ + y³ - 3xy 的极值。

解：

• fₓ = 3x² - 3y = 0，fᵧ = 3y² - 3x = 0
• 由第一个方程得 y = x²，代入第二个方程得 x⁴ - x = 0，即 x(x³ - 1) = 0
• 解得 x = 0（y = 0）和 x = 1（y = 1）
• 在 (0,0) 处：A = 0，B = -3，C = 0，AC - B² = -9 < 0，是鞍点
• 在 (1,1) 处：A = 6，B = -3，C = 6，AC - B² = 27 > 0 且 A > 0，取极小值 f(1,1) = -1

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二、重积分

2.1 二重积分

二重积分是将一元函数的定积分推广到二元函数在平面区域上的积分：

\(\iint_D f(x, y) \, dA\)

直角坐标系下的计算：将二重积分化为累次积分（先对一个变量积分，再对另一个变量积分）。

X-型区域（上下边界是 x 的函数）： \(\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, dy\)

例题：计算 ∬_D xy dA，其中 D 由 y = x 和 y = x² 围成。

解：

• 先求交点：x = x²，得 x = 0 和 x = 1
• 在 [0,1] 上，x ≥ x²，所以 y 从 x² 到 x
• ∬_D xy dA = ∫₀¹ dx ∫_{x²} ^{xy dy = ∫₀¹ x · [y²/2]_{x²}} dx = ∫₀¹ x · (x² - x⁴)/2 dx
• = (1/2) ∫₀¹ (x³ - x⁵) dx = (1/2)[x⁴/4 - x⁶/6]₀¹ = (1/2)(1/4 - 1/6) = (1/2)(1/12) = 1/24

2.2 极坐标下的二重积分

当积分区域具有圆形特征时，使用极坐标更方便：

\(\iint_D f(x, y) \, dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr \, d\theta\)

注意不要忘记雅可比因子 r。

例题：计算 ∬_D (x² + y²) dA，其中 D 是以原点为圆心、半径为 a 的圆盘。

解：

• 转换为极坐标：x² + y² = r²
• ∬_D r² · r dr dθ = ∫₀^{2π} dθ ∫₀^{a r³ dr = 2π · [r⁴/4]₀}a = πa⁴/2

2.3 三重积分

三重积分推广到三维空间：

\(\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dV\)

在柱坐标 (r, θ, z) 下：dV = r dr dθ dz 在球坐标 (ρ, θ, φ) 下：dV = ρ² sinφ dρ dθ dφ

例题：用球坐标计算 ∭_Ω z dV，其中 Ω 是上半球 x² + y² + z² ≤ 1，z ≥ 0。

解：

• z = ρcosφ，dV = ρ²sinφ dρ dθ dφ
• ∫₀^{2π} dθ ∫₀^{π/2} dφ ∫₀^{1 ρcosφ · ρ²sinφ dρ = 2π · ∫₀}{π/2} sinφcosφ dφ · ∫₀^1 ρ³ dρ
• = 2π · [sin²φ/2]₀^{π/2} · [ρ⁴/4]₀^1 = 2π · (1/2) · (1/4) = π/4

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三、曲线积分与曲面积分

3.1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

\(\int_L f(x, y) \, ds\)

物理意义：若 f(x, y) 表示线密度，则积分结果为曲线 L 的质量。

参数化计算：设 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β]，则：

\(\int_L f(x, y) \, ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt\)

3.2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

\(\int_L P \, dx + Q \, dy\)

物理意义：力 F = (P, Q) 沿曲线 L 所做的功。

格林公式：设 D 是由闭曲线 L 围成的区域，P 和 Q 在 D 上有连续偏导数，则：

\(\oint_L P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA\)

格林公式将曲线积分转化为二重积分，是计算闭曲线积分的有力工具。

3.3 曲面积分

第一类曲面积分（对面积的曲面积分）： \(\iint_\Sigma f(x, y, z) \, dS\)

第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）： \(\iint_\Sigma P \, dydz + Q \, dxdz + R \, dxdy\)

高斯公式（散度定理）：设 Ω 是由闭曲面 Σ 围成的空间区域，则：

\(\oiint_\Sigma P \, dydz + Q \, dxdz + R \, dxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV\)

高斯公式将曲面积分转化为三重积分，是电磁学中高斯定律的数学基础。

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四、无穷级数

4.1 数项级数的基本概念

无穷级数是无穷多个数相加的表达式：

\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\)

部分和序列 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ。若 lim(n→∞) Sₙ = S 存在，则级数收敛于 S；否则级数发散。

4.2 正项级数的审敛法

对于正项级数（所有项为正），有以下审敛法：

比较审敛法：若 0 ≤ aₙ ≤ bₙ，∑bₙ 收敛则 ∑aₙ 收敛；∑aₙ 发散则 ∑bₙ 发散。

比值审敛法（达朗贝尔判别法）：设 ρ = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|。

• 若 ρ < 1，级数收敛
• 若 ρ > 1，级数发散
• 若 ρ = 1，无法判断

根值审敛法（柯西判别法）：设 ρ = lim(n→∞) ⁿ√|aₙ|。判断标准与比值法相同。

积分审敛法：若 f(x) 在 [1, +∞) 上连续、正值、单调递减，则 ∑f(n) 与 ∫₁^∞ f(x) dx 同敛散。

例题：判断 ∑(n=1→∞) n!/nⁿ 的敛散性。

解：用比值审敛法。 aₙ₊₁/aₙ = (n+1)!/(n+1)^(n+1) · nⁿ/n! = nⁿ/(n+1)ⁿ = 1/(1+1/n)ⁿ → 1/e < 1 因此级数收敛。

4.3 交错级数与绝对收敛

交错级数是正负项交替出现的级数。莱布尼茨判别法：若 aₙ 单调递减趋于0，则 ∑(-1)ⁿ⁻¹aₙ 收敛。

绝对收敛：若 ∑|aₙ| 收敛，则 ∑aₙ 绝对收敛。绝对收敛必收敛，但收敛不一定绝对收敛。

4.4 幂级数

幂级数的形式为 ∑aₙ(x - x₀)ⁿ。幂级数有一个收敛半径 R：

• 当 |x - x₀| < R 时，级数绝对收敛
• 当 |x - x₀| > R 时，级数发散

收敛半径的求法： \(R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)

例题：求 ∑(n=0→∞) xⁿ/n! 的收敛半径。

解：aₙ = 1/n!，R = lim(n→∞) |aₙ/aₙ₊₁| = lim(n→∞) (n+1)!/n! = lim(n→∞)(n+1) = +∞。 收敛半径为无穷大，该级数对所有实数 x 都收敛。事实上，这就是 eˣ 的泰勒展开。

4.5 函数展开为幂级数

常见的泰勒级数（在 x = 0 处展开，即麦克劳林级数）：

• eˣ = ∑xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...，x ∈ (-∞, +∞)
• sinx = ∑(-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! = x - x³/3! + x⁵/5! - ...，x ∈ (-∞, +∞)
• cosx = ∑(-1)ⁿx^(2n)/(2n)! = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...，x ∈ (-∞, +∞)
• 1/(1-x) = ∑xⁿ = 1 + x + x² + x³ + ...，|x| < 1
• ln(1+x) = ∑(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n = x - x²/2 + x³/3 - ...，x ∈ (-1, 1]

例题：将 f(x) = x/(1+x²) 展开为幂级数。

解：利用 1/(1-u) = ∑uⁿ（|u| < 1），令 u = -x²： 1/(1+x²) = 1/(1-(-x²)) = ∑(-1)ⁿx^(2n) = 1 - x² + x⁴ - x⁶ + ...，|x| < 1 因此 x/(1+x²) = ∑(-1)ⁿx^(2n+1) = x - x³ + x⁵ - x⁷ + ...，|x| < 1

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练习题

题目一

求 z = x²y + y²x 在点 (1, 2) 处的全微分。

答案： ∂z/∂x = 2xy + y²，在 (1,2) 处 = 4 + 4 = 8 ∂z/∂y = x² + 2yx，在 (1,2) 处 = 1 + 4 = 5 dz = 8dx + 5dy

题目二

计算 ∬_D e^(x+y) dA，其中 D 由 x = 0，y = 0，x + y = 1 围成。

答案： ∬_D e^(x+y) dA = ∫₀¹ dx ∫₀^{1-x} e^(x+y) dy = ∫₀¹ eˣ [eʸ]₀^{1-x} dx = ∫₀¹ eˣ(e^(1-x) - 1) dx = ∫₀¹ (e - eˣ) dx = [ex - eˣ]₀¹ = (e - e) - (0 - 1) = 1

题目三

判断级数 ∑(n=1→∞) 1/(n²+1) 的敛散性。

答案： 由于 1/(n²+1) < 1/n²，而 ∑1/n² 是 p = 2 > 1 的 p-级数，收敛。由比较审敛法，∑1/(n²+1) 收敛。

题目四

求幂级数 ∑(n=1→∞) nxⁿ 的收敛半径及和函数。

答案： aₙ = n，R = lim(n→∞) n/(n+1) = 1。收敛半径 R = 1。 当 |x| < 1 时，∑nxⁿ = x · ∑nxⁿ⁻¹ = x · d/dx(∑xⁿ) = x · d/dx(1/(1-x)) = x/(1-x)²。

题目五

用球坐标计算 ∭_Ω √(x²+y²+z²) dV，其中 Ω 为球体 x²+y²+z² ≤ 4。

答案： 被积函数为 ρ，dV = ρ²sinφ dρ dθ dφ。 ∫₀^{2π} dθ ∫₀^{π sinφ dφ ∫₀}2 ρ³ dρ = 2π · [-cosφ]₀^{π · [ρ⁴/4]₀}2 = 2π · 2 · 4 = 16π。

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总结

高等数学下册的核心内容可以归纳为四大模块：

1. 多元函数微分学：偏导数和全微分是基础，链式法则是核心工具，极值问题是重要应用。
2. 重积分：二重积分的计算（直角坐标和极坐标）是重点，三重积分在柱坐标和球坐标下的计算是难点。
3. 曲线曲面积分：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式是三大积分公式，将不同类型的积分相互转化。
4. 无穷级数：审敛法判断敛散性，幂级数的收敛半径和函数展开是核心内容。

学习这些内容的关键是大量计算练习。每种积分类型都有固定的计算步骤，熟练掌握计算方法比理解理论证明更为重要（对工科学生而言）。建议每学完一个知识点，至少完成5-10道计算题来巩固。