高三数学复习教程——函数与导数综合

概述

函数与导数是高中数学的核心内容，也是高考的重点考查对象。函数是贯穿高中数学的主线，导数则是研究函数性质的有力工具。在高三复习阶段，需要将函数与导数的知识进行综合，掌握导数在函数性质研究、不等式证明、零点问题等方面的综合应用。

高考中，函数与导数的综合题通常作为压轴题出现，分值高、难度大。但只要掌握了基本方法和常见题型，就能够从容应对。本教程将系统梳理函数与导数的核心知识点和解题方法，帮助同学们在高考中取得理想成绩。

---

知识点一：函数性质的综合应用

1.1 函数的定义域与值域

定义域的求法：使函数表达式有意义的自变量的取值范围。

常见约束条件：

• 分式：分母不为零
• 偶次根式：被开方数非负
• 对数：真数大于零，底数大于零且不等于1
• 零次幂：底数不为零

值域的求法：

• 配方法：适用于二次函数
• 换元法：将复杂函数转化为简单函数
• 判别式法：适用于可化为关于x的二次方程的函数
• 单调性法：利用函数的单调性直接求值域
• 导数法：通过求导确定极值点，结合端点值求值域

1.2 函数的单调性

定义：设函数f(x)在区间I上有定义，若对任意x₁, x₂ ∈ I，当x₁ < x₂时：

• f(x₁) < f(x₂)，则f(x)在I上单调递增
• f(x₁) > f(x₂)，则f(x)在I上单调递减

判断方法：

1. 定义法：作差 f(x₁) - f(x₂)，判断符号
2. 导数法：f'(x) > 0 单调递增，f'(x) < 0 单调递减
3. 复合函数法：同增异减

1.3 函数的奇偶性

定义：

• 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称
• 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称

判断步骤：

1. 判断定义域是否关于原点对称（前提条件）
2. 比较 f(-x) 与 f(x) 的关系

性质：

• 奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0
• 奇函数在对称区间上的单调性相同
• 偶函数在对称区间上的单调性相反

1.4 函数的周期性

定义：若存在非零常数T，使得对定义域内的任意x，都有 f(x+T) = f(x)，则f(x)是以T为周期的周期函数。

常见结论：

• 若 f(x+a) = -f(x)，则 T = 2a
• 若 f(x+a) = 1/f(x)，则 T = 2a
• 若 f(x+a) = -1/f(x)，则 T = 2a

1.5 函数的对称性

常见对称性：

• f(a+x) = f(a-x)：图像关于直线 x = a 对称
• f(a+x) = f(b-x)：图像关于直线 x = (a+b)/2 对称
• f(a+x) + f(a-x) = 2b：图像关于点 (a, b) 对称
• f(a+x) + f(b-x) = 0：图像关于点 ((a+b)/2, 0) 对称

---

知识点二：导数的计算与几何意义

2.1 导数的定义

\(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)

几何意义：f'(x₀) 是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率。

2.2 基本导数公式

原函数	导函数
c（常数）	0
xⁿ	nxⁿ⁻¹
eˣ	eˣ
aˣ	aˣln a
ln x	1/x
logₐx	1/(x ln a)
sin x	cos x
cos x	-sin x
tan x	1/cos²x

2.3 导数的运算法则

和差法则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)

积法则：[f(x) · g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

商法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²

链式法则：[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

2.4 导数的物理意义

若物体的位移函数为 s(t)，则：

• 速度：v(t) = s'(t)
• 加速度：a(t) = v'(t) = s''(t)

---

知识点三：导数与函数的单调性、极值

3.1 用导数判断单调性

设函数 f(x) 在区间 (a, b) 内可导：

• 若 f'(x) > 0，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递增
• 若 f'(x) < 0，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递减

求单调区间的步骤：

1. 求 f'(x)
2. 令 f'(x) = 0，求出所有实根
3. 用实根将定义域分成若干区间
4. 在每个区间上判断 f'(x) 的符号
5. 确定单调区间

3.2 用导数求极值

极值的定义：

• 极大值：若 f(x₀) 比它附近所有点的函数值都大，则 f(x₀) 是极大值
• 极小值：若 f(x₀) 比它附近所有点的函数值都小，则 f(x₀) 是极小值

极值的判定：

• 第一充分条件：

  • f'(x) 由正变负 → 极大值
  • f'(x) 由负变正 → 极小值

• 第二充分条件：

  • f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) < 0 → 极大值
  • f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) > 0 → 极小值

求极值的步骤：

1. 求 f'(x)
2. 令 f'(x) = 0，求出所有实根
3. 判断每个根左右两侧 f'(x) 的符号
4. 确定极大值和极小值

例题：求 f(x) = x³ - 3x + 1 的极值。

解：

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)

令 f'(x) = 0，得 x = -1 或 x = 1

x	(-∞, -1)	-1	(-1, 1)	1	(1, +∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大	↘	极小	↗

极大值：f(-1) = (-1)³ - 3(-1) + 1 = 3

极小值：f(1) = 1³ - 3(1) + 1 = -1

3.3 最值问题

闭区间上最值的求法：

1. 求 f(x) 在开区间内的极值
2. 求 f(x) 在端点的值
3. 比较极值和端点值，最大的是最大值，最小的是最小值

---

知识点四：导数与不等式

4.1 构造函数证明不等式

基本思路：将不等式转化为函数的单调性问题。

常用方法：

方法一：移项构造

要证 f(x) > g(x)，构造 h(x) = f(x) - g(x)，证明 h(x) > 0。

方法二：作商构造

要证 f(x) > g(x)（g(x) > 0），构造 h(x) = f(x)/g(x)，证明 h(x) > 1。

方法三：利用已知不等式

常用不等式：

• eˣ ≥ x + 1（等号在x=0时成立）
• ln x ≤ x - 1（等号在x=1时成立）
• x - 1 ≥ ln x ≥ 1 - 1/x（x > 0）

例题：证明当 x > 0 时，eˣ > 1 + x。

证明：

设 f(x) = eˣ - 1 - x

f'(x) = eˣ - 1

当 x > 0 时，eˣ > 1，所以 f'(x) > 0

f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增

又 f(0) = e⁰ - 1 - 0 = 0

所以当 x > 0 时，f(x) > f(0) = 0，即 eˣ > 1 + x

4.2 含参不等式的处理

方法：将参数分离出来，转化为求函数的最值问题。

例题：若对任意 x > 0，都有 ln x ≤ ax，求实数a的取值范围。

解：

当 x > 0 时，ln x ≤ ax 等价于 a ≥ (ln x)/x

设 g(x) = (ln x)/x（x > 0）

g'(x) = (1 - ln x)/x²

令 g'(x) = 0，得 x = e

当 0 < x < e 时，g'(x) > 0，g(x) 单调递增

当 x > e 时，g'(x) < 0，g(x) 单调递减

g(x) 的最大值为 g(e) = (ln e)/e = 1/e

所以 a ≥ 1/e

---

知识点五：导数与零点问题

5.1 零点存在性问题

零点存在定理：若函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) · f(b) < 0，则至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = 0。

利用导数判断零点个数的步骤：

1. 求 f'(x)
2. 确定 f(x) 的单调区间和极值
3. 分析极值的符号以及函数在区间端点的趋势
4. 判断零点的个数

5.2 含参零点问题

例题：已知函数 f(x) = x³ - 3ax + 1，讨论 f(x) 零点的个数。

解：

f'(x) = 3x² - 3a = 3(x² - a)

情况一：a ≤ 0

f'(x) ≥ 0，f(x) 在 R 上单调递增

又 f(x) → -∞（x→-∞），f(x) → +∞（x→+∞）

f(x) 有且仅有1个零点。

情况二：a > 0

令 f'(x) = 0，得 x = ±√a

f(x) 在 (-∞, -√a) 上递增，在 (-√a, √a) 上递减，在 (√a, +∞) 上递增

极大值：f(-√a) = (-√a)³ - 3a(-√a) + 1 = -a√a + 3a√a + 1 = 2a√a + 1

极小值：f(√a) = (√a)³ - 3a(√a) + 1 = a√a - 3a√a + 1 = -2a√a + 1

• 若极小值 > 0，即 -2a√a + 1 > 0，得 a < (1/4)^(2/3) = 1/∛16，f(x) 只有1个零点（在左侧）
• 若极小值 = 0，即 a = 1/∛16，f(x) 有2个零点
• 若极小值 < 0 且极大值 > 0，即 a > 1/∛16，f(x) 有3个零点

5.3 零点与参数的关系

常见策略：

• 分离参数：将参数a表示为关于x的函数，转化为求函数值域问题
• 数形结合：画出函数图像，通过图像判断零点个数
• 利用极值：极值的符号决定零点的个数

---

知识点六：导数的综合应用

6.1 导数与切线问题

在某点处的切线：曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线方程为：

\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)

过某点的切线：注意区分"在某点处"和"过某点"——"过某点"的切线不一定以该点为切点。

6.2 导数与恒成立问题

常见题型：对任意 x ∈ D，f(x) ≥ a 恒成立，求a的取值范围。

解题策略：

• f(x) ≥ a 恒成立 ⟺ f(x)的最小值 ≥ a
• f(x) ≤ a 恒成立 ⟺ f(x)的最大值 ≤ a

6.3 导数与存在性问题

常见题型：存在 x ∈ D，使得 f(x) ≥ a 成立，求a的取值范围。

解题策略：

• 存在 x 使得 f(x) ≥ a ⟺ f(x)的最大值 ≥ a
• 存在 x 使得 f(x) ≤ a ⟺ f(x)的最小值 ≤ a

6.4 导数与双变量问题

常见题型：对任意 x₁ ∈ D₁，存在 x₂ ∈ D₂，使得 f(x₁) ≥ g(x₂)，求参数范围。

解题策略：

• f(x₁) ≥ g(x₂) 对任意x₁成立且存在x₂ ⟺ f(x₁)的最小值 ≥ g(x₂)的最小值

---

练习题

练习一：单调性与极值

求函数 f(x) = x - ln x 的单调区间和极值。

答案：

定义域：(0, +∞)

f'(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x

令 f'(x) = 0，得 x = 1

x	(0, 1)	1	(1, +∞)
f'(x)	-	0	+
f(x)	↘	极小	↗

单调递减区间：(0, 1)

单调递增区间：(1, +∞)

极小值：f(1) = 1 - ln 1 = 1

无极大值。

---

练习二：不等式证明

证明：当 x > 0 时，x > ln(1 + x)。

答案：

设 f(x) = x - ln(1 + x)（x > 0）

f'(x) = 1 - 1/(1+x) = x/(1+x)

当 x > 0 时，f'(x) > 0

f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增

又 f(0) = 0 - ln 1 = 0

所以当 x > 0 时，f(x) > f(0) = 0，即 x > ln(1+x)

---

练习三：零点问题

已知函数 f(x) = eˣ - ax - 1（a > 0），讨论 f(x) 零点的个数。

答案：

f'(x) = eˣ - a

令 f'(x) = 0，得 x = ln a

当 x < ln a 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减

当 x > ln a 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增

f(x) 在 x = ln a 处取得极小值：f(ln a) = a - a·ln a - 1

设 g(a) = a - a·ln a - 1

g'(a) = 1 - ln a - 1 = -ln a

当 0 < a < 1 时，g'(a) > 0，g(a) 递增

当 a > 1 时，g'(a) < 0，g(a) 递减

g(a) 的最大值为 g(1) = 1 - 0 - 1 = 0

所以 g(a) ≤ 0，即极小值 ≤ 0。

• 当 a = 1 时，极小值 = 0，f(x) 有1个零点（x=0）
• 当 a ≠ 1 时，极小值 < 0

又 f(x) → +∞（x→±∞），所以 f(x) 有2个零点。

---

练习四：恒成立问题

若对任意 x ∈ [1, +∞)，都有 x² - 2x + a ≥ 0，求实数a的取值范围。

答案：

设 f(x) = x² - 2x + a = (x-1)² + a - 1

在 [1, +∞) 上，f(x) 的最小值在 x = 1 处取得：f(1) = a - 1

要使 f(x) ≥ 0 恒成立，需 f(1) ≥ 0

即 a - 1 ≥ 0，得 a ≥ 1

---

练习五：综合应用题

已知函数 f(x) = x³ - 3x² + ax + 2，若 f(x) 在 [0, 2] 上的最大值为2，求a的值。

答案：

f'(x) = 3x² - 6x + a

f(x) 在 [0, 2] 上的最大值可能在 x = 0、x = 2 或极值点处取得。

f(0) = 2

f(2) = 8 - 12 + 2a + 2 = 2a - 2

令 f'(x) = 0：3x² - 6x + a = 0，x = (6 ± √(36-12a))/6 = 1 ± √(1 - a/3)

情况一：a ≥ 3，f'(x) ≥ 0，f(x) 在 [0, 2] 上单调递增

最大值 = f(2) = 2a - 2 = 2，得 a = 2，但 a ≥ 3，矛盾。

情况二：a < 3，极值点 x₀ = 1 - √(1 - a/3) ∈ (0, 1)（另一个极值点 > 1，也在 [0,2] 内但考虑左侧的极大值点）

实际上 f'(x) = 3x² - 6x + a，对称轴 x = 1

f'(0) = a，f'(2) = a

若 a > 0，则 f'(0) > 0，f'(2) > 0

极小值点在 x = 1 处（因为 f''(x) = 6x - 6，f''(1) = 0，需要进一步分析）

重新分析：

f'(x) = 3x² - 6x + a = 3(x-1)² + a - 3

当 a = 3 时，f'(x) = 3(x-1)² ≥ 0，f(x) 单调递增，最大值 = f(2) = 4 ≠ 2

当 a < 3 时，f'(x) = 0 有两个根 x₁ = 1 - √(1-a/3)，x₂ = 1 + √(1-a/3)

x₁ ∈ (0,1)，x₂ ∈ (1,2)

f(x) 在 [0, x₁] 递增，在 [x₁, x₂] 递减，在 [x₂, 2] 递增

最大值 = max{f(0), f(x₁), f(2)} = max{2, f(x₁), 2a-2}

f(0) = 2 已经是2，所以最大值 ≥ 2

要使最大值恰好为2，需 f(x₁) ≤ 2 且 f(2) ≤ 2

f(2) = 2a - 2 ≤ 2 → a ≤ 2

f(x₁) 的计算较复杂。由于 f(0) = 2，且 x₁ 处是极大值，f(x₁) > f(0) = 2（当 a > 0 时）

所以需要 f(x₁) = 2。

经过计算（利用 f(x₁) 的表达式），可得 a = 2。

验证：a = 2 时，f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2

f'(x) = 3x² - 6x + 2 = 0 → x = 1 ± 1/√3

f(1 - 1/√3) ≈ f(0.423) ≈ 2.385 > 2

这说明 a = 2 时最大值不是2，需要重新考虑。

实际上当 a ≤ 0 时，f(x) 在 [0,2] 上可能单调递减，最大值 = f(0) = 2 ✓

当 a = 0 时，f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2)

f(x) 在 [0,2] 上递减，最大值 = f(0) = 2 ✓

所以 a = 0。

---

总结

函数与导数是高中数学的核心内容，也是高考的重点和难点。在高三复习中，需要掌握以下关键能力：

1. 函数性质的综合运用：能够灵活运用单调性、奇偶性、周期性、对称性分析函数
2. 导数的计算：熟练掌握基本导数公式和运算法则
3. 导数的应用：用导数研究函数的单调性、极值和最值
4. 不等式证明：学会构造函数，利用单调性证明不等式
5. 零点问题：利用导数分析函数的零点个数和位置
6. 恒成立与存在性问题：转化为最值问题求解

高考函数与导数题虽然难度较大，但解题方法相对固定。建议同学们在复习中：

• 整理常见题型和解题模板
• 多做历年高考真题和模拟题
• 注意计算的准确性
• 培养分类讨论的意识

只要方法得当、练习充分，函数与导数的综合题就能够成为你的得分利器。祝同学们高考顺利！