线性代数补充教程——矩阵运算与线性变换

概述

线性代数是现代数学和工程应用中最重要的基础学科之一。它不仅是后续学习概率统计、数值分析、优化理论等课程的必备工具，更是计算机科学、物理学、经济学等领域的核心数学语言。

本教程作为课堂教学的补充，重点讲解矩阵的秩与初等变换、线性方程组解的结构、线性变换的矩阵表示、内积空间与正交化等核心内容。这些内容相互关联、层层递进，构成了线性代数的完整理论框架。理解这些内容，不仅有助于解题，更能帮助你建立对线性代数的整体认知。

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知识点一：矩阵的秩与初等变换

核心要点

矩阵的秩是线性代数中最核心的概念之一，它描述了矩阵所包含的"独立信息"的多少。

定义：矩阵 \(A\) 的秩（记为 \(r(A)\) 或 \(\text{rank}(A)\)）等于 \(A\) 中非零子式的最高阶数。等价地，\(r(A)\) 等于 \(A\) 的行向量组（或列向量组）的秩。

初等行变换有三种：

1. 交换两行（\(r_i \leftrightarrow r_j\)）
2. 某行乘以非零常数（\(r_i \times k\)）
3. 某行加上另一行的倍数（\(r_i + k \cdot r_j\)）

关键性质：初等行变换不改变矩阵的秩。因此，我们可以通过将矩阵化为行阶梯形来求秩。

行阶梯形矩阵的特征：

• 所有非零行在零行之上
• 每行的首个非零元素（主元）所在列号严格递增
• 主元所在列的下方元素全为零

**行最简形（简化行阶梯形）**在行阶梯形基础上还满足：

• 主元为 1
• 主元所在列的其他元素全为 0

例子

例1：求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}\) 的秩

进行初等行变换：

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)

交换 \(r_2\) 和 \(r_3\)：

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

行阶梯形有 2 个非零行，所以 \(r(A) = 2\)。

继续化为行最简形：

\(\xrightarrow{r_1 - 2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

例2：判断矩阵 \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}\) 的秩

\(B \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

\(r(B) = 2\)。

秩的重要性质

• \(r(A_{m \times n}) \leq \min(m, n)\)
• \(r(A) = r(A^T)\)
• \(r(AB) \leq \min(r(A), r(B))\)
• \(r(A+B) \leq r(A) + r(B)\)
• 若 \(P\)、\(Q\) 可逆，则 \(r(PAQ) = r(A)\)

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知识点二：线性方程组解的结构

核心要点

线性方程组 \(Ax = b\) 的解的情况完全由系数矩阵 \(A\) 和增广矩阵 \((A|b)\) 的秩决定。

解的判定定理（针对 \(m\) 个方程 \(n\) 个未知数的方程组）：

条件	解的情况
\(r(A) \neq r(A\|b)\)	无解
\(r(A) = r(A\|b) = n\)	唯一解
\(r(A) = r(A\|b) < n\)	无穷多解，有 \(n - r(A)\) 个自由变量

齐次方程组 \(Ax = 0\) 的解的结构：

• 齐次方程组一定有零解（\(x = 0\)）
• 有非零解 \(\Leftrightarrow\) \(r(A) < n\)（未知数个数）
• 解空间的维数 = \(n - r(A)\)

基础解系：齐次方程组 \(Ax = 0\) 的解空间的一组基，称为基础解系。基础解系中包含 \(n - r(A)\) 个线性无关的解向量。

非齐次方程组 \(Ax = b\) 的解的结构：

\(x = x_p + x_h\)

其中 \(x_p\) 是 \(Ax = b\) 的一个特解，\(x_h\) 是 \(Ax = 0\) 的通解。

例子

例1：求解方程组

\(\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 9 \\ 3x_1 + 5x_2 + 8x_3 = 15 \end{cases}\)

增广矩阵：

\((A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 5 & 9 \\ 3 & 5 & 8 & 15 \end{pmatrix}\)

初等行变换：

\(\xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

\(r(A) = r(A|b) = 2 < 3\)（未知数个数），有无穷多解，\(3 - 2 = 1\) 个自由变量。

继续化简：

\(\xrightarrow{r_2 \times (-1)} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

等价方程组：

\(\begin{cases} x_1 = -x_3 \\ x_2 = 3 - x_3 \end{cases}\)

令 \(x_3 = t\)（自由变量），通解为：

\(x = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

其中 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) 是特解，\(t \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 是齐次方程组的通解。

例2：求齐次方程组的基础解系

\(\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - x_2 + 5x_3 = 0 \end{cases}\)

系数矩阵化简：

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

\(r(A) = 2\)，自由变量个数 \(= 3 - 2 = 1\)。

继续化简：

\(\xrightarrow{r_2 \times (-1)} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

等价方程组：\(x_1 = -2x_3\)，\(x_2 = 3x_3\)

令 \(x_3 = 1\)，得基础解系：\(\xi = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\)

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知识点三：线性变换的矩阵表示

核心要点

线性变换是线性代数的核心研究对象。它是一种保持加法和数乘运算的映射。

定义：设 \(V\) 和 \(W\) 是向量空间，映射 \(T: V \to W\) 称为线性变换，如果满足：

1. \(T(u + v) = T(u) + T(v)\)（保持加法）
2. \(T(ku) = kT(u)\)（保持数乘）

矩阵表示：给定 \(V\) 的一组基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}\)，线性变换 \(T\) 在这组基下的矩阵 \(A\) 定义为：

\(T(\alpha_j) = a_{1j}\alpha_1 + a_{2j}\alpha_2 + \cdots + a_{nj}\alpha_n\)

即 \(A\) 的第 \(j\) 列是 \(T(\alpha_j)\) 在基 \(\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}\) 下的坐标。

基变换与坐标变换：

设从旧基 \(\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}\) 到新基 \(\{\beta_1, \ldots, \beta_n\}\) 的过渡矩阵为 \(P\)，则：

• 向量的坐标变换：\(x_{\text{旧}} = P x_{\text{新}}\)
• 矩阵的相似变换：\(B = P^{-1}AP\)

相似矩阵：若 \(B = P^{-1}AP\)，则 \(A\) 和 \(B\) 相似，它们表示同一线性变换在不同基下的矩阵。相似矩阵有相同的特征值、行列式、迹和秩。

例子

例1：设 \(\mathbb{R}^2\) 上的线性变换 \(T\) 将向量逆时针旋转 \(90°\)，求 \(T\) 在标准基下的矩阵。

标准基 \(e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)，\(e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

旋转 \(90°\)：\(T(e_1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，\(T(e_2) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

所以 \(T\) 的矩阵为 \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

验证：\(A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\)，确实是逆时针旋转 \(90°\)。

例2：设 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) 在基 \(\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)，\(\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) 下的矩阵为 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)，求 \(T\) 在标准基下的矩阵。

从基 \(\{\alpha_1, \alpha_2\}\) 到标准基的过渡矩阵：

\(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

\(T\) 在标准基下的矩阵：

\(B = PAP^{-1}\)

先求 \(P^{-1}\)：\(\det(P) = -2\)

\(P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)

\(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \end{pmatrix}\)

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知识点四：特征值与特征向量

核心要点

定义：设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵，若存在非零向量 \(\xi\) 和数 \(\lambda\)，使得 \(A\xi = \lambda\xi\)，则 \(\lambda\) 称为 \(A\) 的特征值，\(\xi\) 称为对应于 \(\lambda\) 的特征向量。

求解步骤：

1. 求特征多项式：\(\det(A - \lambda E) = 0\)
2. 解特征方程：得到所有特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\)
3. 求特征向量：对每个 \(\lambda_i\)，解齐次方程组 \((A - \lambda_i E)x = 0\)

重要性质：

• 特征值之和 = 矩阵的迹：\(\sum \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum a_{ii}\)
• 特征值之积 = 矩阵的行列式：\(\prod \lambda_i = \det(A)\)
• 不同特征值对应的特征向量线性无关

对角化：\(n\) 阶矩阵 \(A\) 可对角化的充要条件是 \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量。此时 \(A = P\Lambda P^{-1}\)，其中 \(\Lambda\) 是特征值组成的对角矩阵，\(P\) 是特征向量组成的矩阵。

例子

例1：求 \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) 的特征值和特征向量

特征多项式：

\(\det(A - \lambda E) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda-2)(\lambda-4)\)

特征值：\(\lambda_1 = 2\)，\(\lambda_2 = 4\)

当 \(\lambda_1 = 2\) 时：

\((A - 2E)x = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} x = 0\)

\(x_1 + x_2 = 0\)，取 \(x_2 = 1\)，得 \(\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

当 \(\lambda_2 = 4\) 时：

\((A - 4E)x = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} x = 0\)

\(x_1 = x_2\)，取 \(x_2 = 1\)，得 \(\xi_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(A\) 有 2 个线性无关的特征向量，可以对角化：

\(A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\)

例2：\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 能否对角化？

特征多项式：\((1-\lambda)^2 = 0\)，\(\lambda = 1\)（二重特征值）

\((A - E)x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x = 0\)

只有 \(x_2 = 0\)，\(x_1\) 自由，特征向量只有 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) 的倍数。

2 重特征值只对应 1 个线性无关的特征向量，不能对角化。

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知识点五：内积空间与正交化

核心要点

内积赋予向量空间"角度"和"长度"的概念。\(\mathbb{R}^n\) 上的标准内积为：

\(\langle x, y \rangle = x^T y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n\)

内积的性质：

• 对称性：\(\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle\)
• 线性：\(\langle ax + by, z \rangle = a\langle x, z \rangle + b\langle y, z \rangle\)
• 正定性：\(\langle x, x \rangle \geq 0\)，等号成立当且仅当 \(x = 0\)

向量的长度（范数）：\(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\)

正交：若 \(\langle x, y \rangle = 0\)，则 \(x\) 与 \(y\) 正交。

标准正交基：一组两两正交且长度为 1 的向量构成的基。

施密特正交化（Gram-Schmidt）：

给定线性无关的向量组 \(\{v_1, v_2, \ldots, v_k\}\)，构造正交向量组 \(\{u_1, u_2, \ldots, u_k\}\)：

\(u_1 = v_1\) \(u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1\) \(u_3 = v_3 - \frac{\langle v_3, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 - \frac{\langle v_3, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle} u_2\)

一般公式：\(u_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_i \rangle}{\langle u_i, u_i \rangle} u_i\)

正交矩阵：满足 \(Q^T Q = Q Q^T = E\) 的矩阵。正交矩阵的列向量（行向量）构成标准正交基。

例子

例1：将 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量组 \(\{v_1, v_2, v_3\}\) 标准正交化，其中

\(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

第一步：\(u_1 = v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

第二步：计算 \(\langle v_2, u_1 \rangle = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1\)，\(\langle u_1, u_1 \rangle = 2\)

\(u_2 = v_2 - \frac{1}{2}u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

第三步：计算 \(\langle v_3, u_1 \rangle = 0 + 1 + 0 = 1\)，\(\langle v_3, u_2 \rangle = 0 - 1/2 + 1 = 1/2\)，\(\langle u_2, u_2 \rangle = 1/4 + 1/4 + 1 = 3/2\)

\(u_3 = v_3 - \frac{1}{2}u_1 - \frac{1/2}{3/2}u_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}\)

标准化：

\(e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{\sqrt{3/2}}\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{1}{2\sqrt{2/3}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

例2：证明正交矩阵的行列式为 \(\pm 1\)

设 \(Q\) 为正交矩阵，则 \(Q^T Q = E\)

\(\det(Q^T Q) = \det(Q^T) \det(Q) = (\det Q)^2 = \det E = 1\)

所以 \(\det Q = \pm 1\)。

几何意义：行列式为 \(+1\) 的正交矩阵表示旋转，行列式为 \(-1\) 的正交矩阵表示旋转加反射（镜像）。

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练习题

练习一：矩阵的秩

求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 5 \\ 3 & 6 & 0 & 8 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\) 的秩，并化为行最简形。

参考答案：

\(A \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1, r_4-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2, r_4-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

\(r(A) = 2\)。

行最简形：

\(\xrightarrow{r_2 \times \frac{1}{3}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1+r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

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练习二：线性方程组

求方程组的通解和基础解系：

\(\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 2 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 = 3 \end{cases}\)

参考答案：

增广矩阵化简：

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1, r_3-2r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

\(\xrightarrow{r_1-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

\(r(A) = r(A|b) = 2\)，\(n = 4\)，自由变量个数 \(= 4 - 2 = 2\)。

等价方程组：\(x_1 = x_3 + 2x_4\)，\(x_2 = 1 - 2x_3 - 3x_4\)

令 \(x_3 = s\)，\(x_4 = t\)：

\(x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

基础解系（对应齐次方程组）：\(\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)，\(\xi_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

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练习三：特征值与对角化

求 \(A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) 的特征值和特征向量，并判断是否可对角化。

参考答案：

特征多项式：

\(\det(A-\lambda E) = (4-\lambda)(1-\lambda)+2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3)\)

特征值：\(\lambda_1 = 2\)，\(\lambda_2 = 3\)

\(\lambda_1 = 2\)：\((A-2E)x = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}x = 0\)，得 \(\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(\lambda_2 = 3\)：\((A-3E)x = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}x = 0\)，得 \(\xi_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

2 个不同的特征值，对应的特征向量线性无关，可以对角化：

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\)

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练习四：施密特正交化

将 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量组 \(\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}\) 标准正交化。

参考答案：

第一步：\(u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，\(\|u_1\| = \sqrt{2}\)

第二步：\(\langle v_2, u_1 \rangle = 1\)，\(\langle u_1, u_1 \rangle = 2\)

\(u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{pmatrix}\)

\(\|u_2\| = \sqrt{1/4+1+1/4} = \sqrt{3/2}\)

第三步：\(\langle v_3, u_1 \rangle = 1\)，\(\langle v_3, u_2 \rangle = 1/2\)，\(\langle u_2, u_2 \rangle = 3/2\)

\(u_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1/2}{3/2}\begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}\)

\(\|u_3\| = 2/\sqrt{3}\)

标准正交基：

\(e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}\begin{pmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}\)

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总结

线性代数的核心在于理解"线性结构"。通过本教程的学习，我们梳理了以下核心内容：

1. 矩阵的秩与初等变换：秩是矩阵最本质的不变量，初等变换是求秩的基本工具。行阶梯形和行最简形是解题的标准形式。

2. 线性方程组解的结构：\(r(A)\) 与 \(r(A|b)\) 的比较决定了解的存在性，\(n - r(A)\) 决定了解的自由度。齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解+齐次通解的结构，是理解解空间的关键。

3. 线性变换的矩阵表示：线性变换是线性代数的灵魂。矩阵是线性变换在特定基下的"快照"，基变换导致矩阵的相似变换。理解这一点，就理解了为什么相似矩阵有相同的特征值。

4. 特征值与特征向量：它们揭示了线性变换的"本质方向"。对角化是将复杂的矩阵运算转化为简单的对角矩阵运算的有力工具。

5. 内积空间与正交化：内积赋予向量空间几何结构，施密特正交化是构造标准正交基的标准方法，正交矩阵在数值计算和理论推导中都有重要应用。

这些内容不是孤立的知识点，而是一个有机整体。矩阵的秩连接着方程组的解，特征值连接着对角化和线性变换，内积空间连接着正交化和最小二乘法。建议在学习时，始终注意各知识点之间的联系，构建完整的知识网络。线性代数的美，正体现在这种结构的统一性之中。